乘法逆元（扩展欧几里得或费马小定理）

最新推荐文章于 2023-06-14 14:49:29 发布

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#乘法逆元扩展欧几里得或费马小定理

本文介绍两种求解乘法逆元的方法：扩展欧几里得算法与利用费马小定理结合快速幂实现。扩展欧几里得算法通过递归调用找到满足条件的逆元，而费马小定理适用于质数模的情况。

乘法逆元

方法一：扩展欧几里得

lint ex_gcd(lint a,lint b,lint &x,lint &y)//扩展欧几里得（扩展gcd）
{
	if (a==0&&b==0) return -1;
	if (b==0){x=1;y=0;return a;}
	lint d=ex_gcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}

lint mod_inverse(lint a,lint n)//乘法逆元
{
	lint x,y;
	lint d = ex_gcd(a,n,x,y);
	return (x%n+n)%n;
}

方法二：费马小定理，快速幂

根据费马小定理：

已知p是质数且gcd(a, p) = 1，则 a^p-1 ≡ 1 (mod p), 所以 a*a^p-2 ≡ 1 (mod p)。

a^(p-2)就是a的逆元了

int find(int x)  
{  
    int k=mod-2,ans=1;  
    while(k)  
    {  
        if (k&1) ans=(lint)ans*x%mod;  
        x=(lint)x*x%mod;  
        k>>=1;  
    }  
    return ans;  
}  x在%mod下的逆元