蓝桥杯 地宫取宝

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历届试题 地宫取宝  

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问题描述

　　X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
　　地宫的入口在左上角，出口在右下角。
　　小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
　　走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
　　当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
　　请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

输入格式

　　输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
　　接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值

输出格式

　　要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

样例输入

2 2 2
1 2
2 1

样例输出

2

样例输入

2 3 2
1 2 3
2 1 5

样例输出

14

//dfs+dp也叫记忆化搜索 
//四维数组含义:dp[x][y][count][cost]代表他手中有cout件宝物其中价值最大的是cost(此时还没有取C[x][y])并且能从(x,y)到达终点处，此状态下的次数 
//共两种情况1.C[x][y]>cost,如果取C[x][y]那他下一步可能向右或向下，若不取也可能向右或向下，把他下一步的可能相加就是此状态能到达终点的次数 
		  //2.C[x][y]<=cost,不取C[x][y]可能向右或向下
//由题意动态转移方程:
//C[x][y]>cost时, dp[x][y][count][cost] = dp[x+1][y][count+1][C[x][y]]+dp[x][y+1][count+1][C[x][y]]+dp[x+1][y][count][cost]+dp[x][y+1][count][cost] 
//C[x][y]<=cost时,dp[x][y][count][cost] = dp[x+1][y][count][cost]+dp[x][y+1][count][cost] 
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MOD = 1000000007;
int n, m, k;
int C[51][51];
int dp[51][51][13][14];	//dp[x][y][count][cost]代表他手中有cout件宝物其中价值最大的是cost(此时还没有取C[x][y])并且能从(x,y)到达终点处，此状态下的次数
int dfs(int x, int y, int count, int cost){//x,y坐标,手中宝物件数,手中最大价值的宝物
	if(dp[x][y][count][cost] != -1)	return dp[x][y][count][cost];//已有此状态直接返回,不用再重复递归计算
	long long ans = 0;	//统计总次数 
	if(x == n - 1 && y == m - 1){	//搜索出口 
		if(C[x][y] > cost && k == count + 1 || k == count){
			ans ++;
		}
		return dp[x][y][count][cost] = ans;	//找到答案时递归返回并记录答案 
	}
	if(x + 1 < n){	//下移 
		if(C[x][y] > cost)
			ans += dfs(x + 1, y, count + 1, C[x][y]);
		ans += (dfs(x + 1, y, count, cost) % MOD);
	}
	if(y + 1 < m){	//右移 
		if(C[x][y] > cost)
			ans += dfs(x, y + 1, count + 1, C[x][y]);
		ans += (dfs(x, y + 1, count, cost) % MOD);
	}
	return dp[x][y][count][cost] = ans % MOD;	//返回并记录当前状态(移动之后的次数和，这然这些移动后的点也都是已经到达过终点的的点递归返回的)
}
int main(){
	int i, j;
	while(~scanf("%d%d%d", &n, &m, &k)) {
		memset(dp, -1, sizeof(dp));
		for(i = 0;i < n;i ++){
			for(j = 0;j < m;j ++){
				scanf("%d", &C[i][j]);
				C[i][j] ++;	//避免漏掉价值有0的宝物的比较 
			}
		}
		printf("%lld\n", dfs(0, 0, 0, 0));	
	}
	return 0;
}

//dfs超时代码 
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MOD = 1000000007;
int n, m, k;
long long ans;
int C[55][55];
void dfs(int x, int y, int count, int cost){
	if(x == n - 1 && y == m - 1){
		if(C[x][y] > cost && k == count + 1 || k == count){
			ans = (ans + 1) % MOD;
		}	
		return ;
	}
	if(x + 1 < n){
		if(C[x][y] > cost)
			dfs(x + 1, y, count + 1, C[x][y]);
		dfs(x + 1, y, count, cost);
	}
	if(y + 1 < m){
		if(C[x][y] > cost)
			dfs(x, y + 1, count + 1, C[x][y]);
		dfs(x, y + 1, count, cost);
	}
}
int main(){
	int i, j;
	while(~scanf("%d%d%d", &n, &m, &k)) {
		for(i = 0;i < n;i ++){
			for(j = 0;j < m;j ++)
				scanf("%d", &C[i][j]);
		}
		ans = 0;
		dfs(0, 0, 0, -1);
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}