dp做题的基本思路和优化思想

最新推荐文章于 2024-09-11 10:15:50 发布

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分类专栏： ACM-动态规划文章标签：优化 dp

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本文介绍了动态规划求解问题的基本思路，包括将原问题分解为子问题，确定状态和状态转移方程，以及最优子结构和无后效性的特点。讨论了三种求解形式：记忆递归型、我为人人递推型和人人为我递推型，并提出了两种优化方法——时间优化的记忆化和空间优化的滚动数组。结合POJ - 1163 The Triangle题目，展示了递归型和人人为我递推型的实现，特别是如何应用滚动数组进行空间优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、一般思路：
1、原问题分解为子问题
2、确定状态
3、确定一些初始状态（边界）的值
4、确定状态转移方程。
二、问题特点：
1、问题有最优子结构
2、无后效性
三、求解形式：
1、记忆递归型
2、我为人人递推型（更新原有节点的值）（要注意递推顺序）
3、人人为我递推型（用已有的求未知的）
四、优化方式
1、时间优化：记忆化
2、空间优化：滚动数组
五、设计状态技巧：
如果一个状态不够用就多加几个状态变量，细化状态

POJ - 1163 The Triangle
一、递归型写法（注意记忆化）：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
const int maxn = 105;
int Maxsum[maxn][maxn], a[maxn][maxn], n;

int maxsum(int r, int c)
{
    if (Maxsum[r][c] != -1) {
        return Maxsum[r][c];
    }
    if (r == n) {
        Maxsum[r][c] = a[r][c];
    } else {
        Maxsum[r][c] = max (maxsum (r + 1, c), maxsum (r + 1, c + 1)) + a[r][c];
    }
    return Maxsum[r][c];
}

int main()
{
    scanf ("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <=i; j++) {
            scanf ("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    memset (Maxsum, -1, sizeof(Maxsum));
    maxsum (1, 1);
    printf ("%d\n", Maxsum[1][1]);
    return 0;
}

二、人人为我递推型写法
1、无空间优化：

const int maxn = 105;
int  a[maxn][maxn], Maxsum[maxn][maxn], n;

int main()
{
    scanf ("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <=i; j++) {
            scanf ("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        Maxsum[n][i] = a[n][i];
    }
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {//递归顺序：由下到上
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            Maxsum[i][j] = max (Maxsum[i + 1][j], Maxsum[i + 1][j + 1]) + a[i][j];
        }
    }
    printf ("%d\n", Maxsum[1][1]);
}

2、滚动数组空间优化：

const int maxn = 105;
int  a[maxn][maxn], Maxsum[maxn], n;

int main()
{
    scanf ("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <=i; j++) {
            scanf ("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        Maxsum[i] = a[n][i];
    }
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {//递归顺序：由下到上
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            Maxsum[j] = max (Maxsum[j], Maxsum[j + 1]) + a[i][j];
        }
    }
    printf ("%d\n", Maxsum[1]);
}