浅析机器学习数学基础（2）--方向导数与梯度

最新推荐文章于 2024-07-29 19:00:33 发布
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#机器学习 #数学 #人工智能

本文深入探讨了方向导数的概念，从偏导数出发，解释了方向导数的几何意义及其与自变量变化的关系。同时，文章详细介绍了梯度的概念，包括其作为向量的性质，以及它与方向导数最大值之间的联系。

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方向导数与梯度

方向导数

关于方向导数的问题，首先要引入偏导数。

偏导数：

函数f(x,y),在(x,y)邻域内有定义，定y = y0,x在f(x,y0)处可导，则x在f(x,y0)处的极限为A

在这里插入图片描述

则A为x在f(x,y0)处的偏导数

几何意义：是方程所描述的曲面（线）在x0处的切线对x轴的斜率

方向导数：

方向导数是随着自变量的一个微小的变化，f(x,y)产生的变化量

在这里插入图片描述

与∆x和∆y组成的向量l的模

在这里插入图片描述
之间的比值，称为函数在l方向上的方向导数

定理:如果函数在点p(x,y)是可微分的，那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在

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φ为x轴与l的角度

梯度

梯度是一个向量，它的方向与方向导数最大值取得的方向一致。其大小正好是最大的方向导数

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