方向导数与梯度
方向导数
关于方向导数的问题,首先要引入偏导数。
偏导数:
函数f(x,y),在(x,y)邻域内有定义,定y = y0,x在f(x,y0)处可导,则x在f(x,y0)处的极限为A
则A为x在f(x,y0)处的偏导数
几何意义:是方程所描述的曲面(线)在x0处的切线对x轴的斜率
方向导数:
方向导数是随着自变量的一个微小的变化,f(x,y)产生的变化量
与∆x和∆y组成的向量l的模
之间的比值,称为函数在l方向上的方向导数
定理:如果函数在点p(x,y)是可微分的,那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在
φ为x轴与l的角度
梯度
梯度是一个向量,它的方向与方向导数最大值取得的方向一致。其大小正好是最大的方向导数