[Leetcode 1025] Dynamic Programming - Divisor Game

1025 - Divisor Game

第一种解法

可以直接考虑这道题是否存在必胜策略：首先考虑最终失败的情况必定是谁的数字变为1谁就失败，不可能是其他情况。

再由题目我们可以思考：

• 如果输入是一个偶数，那么减掉一个比它小且能整除它的正数，最后得到的可以是一个偶数(减掉的数不为1)也可以是一个奇数(减掉的数是1)
• 如果输入是一个奇数，那么减掉一个比它小且能整除它的正数，最后得到的一定是一个偶数

通过这一发现，我们可以得到一个结论：在题目已经保证了每一步的选择都是最优的前提下，我只要保证我的对手手里的数字始终是一个奇数，我就必赢。因为奇数无论怎么操作最后给我的都是偶数，而偶数是一定不会输的(只有数字是1时才会输，1是奇数)，我只要每次在我拿到的偶数上减1，再把它给我的对手，我的对手手里就始终都是一个奇数，这也保证了我手里始终会是一个偶数，直到我的对手手里的数字变成1，游戏结束。

所以在这种情况下，只要输入是偶数，Alice是必胜的。

class Solution(object):
    def divisorGame(self, N):
        """
        :type N: int
        :rtype: bool
        """
        
        if N % 2 == 0:
            return True
        else:
            return False


if __name__ == '__main__':
    
    solution = Solution()
    print(solution.divisorGame(4))
    
    

第二种解法

第二种解法是采用动态规划的方法。

当当前的数字为n时，状态转移的方式为：

• 初始化：$dp[0]=True,dp[1]=False$。(因为当$i=1$时要考虑到$n-n//i=0$，为了使这个值不会对结果产生影响，应该将$dp[0]$赋值为True)
• 遍历所有的满足条件$0<i<n,n\%i=0$的$i$，当其中有任意一种$dp[n-i]=False$，则$dp[n]=True$。(因为题目已经要求玩家的每一步都是做出的最优操作，所以只要有至少一种能让Bob失败的方案，则Alice必胜)
• 如果上一步中找不到任何一种使Bob失败的方案，则Alice必败，$dp[n]=False$

import numpy as np


class Solution(object):
    
    def divisorGame(self, N):
        """
        :type N: int
        :rtype: bool
        """
        # 可变类型的值在子函数里面改变，主函数中也会改变
        dp = [-1]*1000
        dp[0] = True
        dp[1] = False
        
        return self.is_alice_win(N, dp)
    
    
    def is_alice_win(self, n, dp):
        
        
        # 终止条件，如果到了某个值时dp值为True或者False
        if dp[n] == True or dp[n] == False:
            return dp[n]
        
        # 循环体，因为题意要求了每次都做的是最优选择，所以只要下面考虑的情况有一次是False，那么说明对方必败，而Alice必胜
        for i in range(1, int(np.sqrt(n))+1):  # 结束条件是n的开方的整数部
            
            if n % i == 0:  # 如果能整除
                ## 当i=1时，n-n//i=0，为了不对结果产生影响，
                if (not self.is_alice_win(n-i, dp)) or (not self.is_alice_win(n-n//i, dp)):
                    dp[n] = True
        
        # 如果所有情况都是Bob必胜，那么当前Alice必败
        if dp[n] == -1:
            dp[n] = False
        
        return dp[n]


if __name__ == '__main__':
    
    solution = Solution()
    print(solution.divisorGame(555))