原视频地址：2022浙江大学信号与系统（含配套课件和代码） - 胡浩基老师-哔哩哔哩
⭐⭐⭐ 我的笔记：飞书链接 - 信号与系统
基于视频，记得笔记，加了点自己的补充（有的是问 ChatGPT 的）
暂时，还没看完，记录下
里面挺多数学内容的
豆瓣 —— 信号与系统
https://pan.baidu.com/s/1Q5x7FZos3RytvNkUeN5Tkg?pwd=6666
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2022浙江大学信号与系统（含配套课件和代码） - 胡浩基老师-哔哩哔哩
《信号与系统》期末复习速成课资源-哔哩哔哩
绪论
本次课程的特色是：
- 对理论有严格的推导，着重于理论和实践的结合；
- 注意一维信号和二维信号相结合；
- 用实践和理论，统一离散和连续信号的知识体系；
- 给了较多matlab编程训练。
什么是信号 —— 信息的载体
信号 —— 表达、传递信息的符号 (举例)
（1）长城的烽火
（2）书信、便条
（3）人的表情、动作、语言。
（4）光、电的变化 (重点)
什么是信息 —— 减少不确定
1948年，美国数学家、信息论的创始人香农在题为“通讯的数学理论”的论文中指出：“信息是用来消除随机不定性的东西”。
对香农观点的直观化解释：信息就是这样一种东西，我们有了它以后，对某件事情的不确定度降低。
信息量：一个事情的概率越小，其信息量，就越大（比如，中国男足，在世界杯，获得冠军，信息量很大）
信息量公式： − l o g [ p ( x ) ] -log[p(x)] −log[p(x)]
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缺点？假定任何事情，都有一个概率
我们无法，对自然界发生的，所有的事情，赋予一个概率
信息是什么，没有一个统一的理论
但是，讲课的时候，我们，不去讨论信息是什么，假定，大家知道，信息，在说什么。
信息的多种表达方式
同样一个信息，我们有很多种，表达和传递的方式（我们可以规划出，很多信号，来表达和传递，同样的信息）
比如给你要通知一件事情给另一个人： （1）写信 （2）找人带话 （3）写EMAIL (4) 打电话 （5）其他
信息的优劣之分 —— 成本、简介、速度、可靠
问题： 表达同一信息的不同信号，是否有优劣之分？
(1)有，优劣由我们的目的确定。
(2)一般来说，我们倾向于不需要媒质、成本低、简洁、传输速度快、传输可靠的信号。(光、电的变化，成本低，无数人，努力的结果)
(3)你能举出反例吗？什么时候我们需要成本高、复杂、传输速度慢、传输不可靠的信号？ 老师上课、DNA 传递、研究
人类，或者哺乳动物的繁衍，是故意让速度慢的，故意有随机性的
为了 —— 保持基因多样性
基因的多样性保持，是需要随机的
这样，一个灾难，一个疾病过来，才不会，打倒整个种群
（1）有没有一些标准的知识、原则和经验来设计、产生这样的信号；
（2）这些信号具有怎样的特点和性质。
什么是系统？ —— 输入、系统、输出
六个字 – 有输入、有输出 （input, output）
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信号与系统 – 这门课为什么对本专业这么重要？ —— 通用
我们专业所做的所有事情，都可以归结到：产生信号 -> 设计系统 -> 输出新的信号 ，这一过程。
系统拆分
（1）可将一个复杂系统分解为若干基本系统。
（2）设计这些基本系统。
（3）基本系统，级联起来，构成复杂系统。
在日常生活中，我们搭建的很多，电子的系统，拆成最小的模块，竟然是一样的
信号与系统课程学习的主要内容：
内容一：研究如何产生成本低、简洁、传输速度快、传输可靠的信号， 这样的信号有什么特点和性质。
内容二：学习设计系统的知识，学习预测系统性质的具体知识
典型信号
离散：x[n]，为什么 n 是 1、2、3？1.5 不行吗
n 只是一个名字，用 1.5 当然可以，但还是 1、2、3 的意义，所以，为了简单，1、2、3 就行了（且为了表达的统一）
证明 ∫ 0 + ∞ sin t t d t = π 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2} ∫0+∞tsintdt=2π
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I = ∫ 0 + ∞ ( e − ( a + j ) t − e − ( a − j ) t ) d t I = \int_{0}^{+\infty} \left(e^{-(a+j)t} - e^{-(a-j)t}\right) dt I=∫0+∞(e−(a+j)t−e−(a−j)t)dt ，将其拆分： I = ∫ 0 + ∞ e − ( a + j ) t d t − ∫ 0 + ∞ e − ( a − j ) t d t I = \int_{0}^{+\infty} e^{-(a+j)t} dt - \int_{0}^{+\infty} e^{-(a-j)t} dt I=∫0+∞e−(a+j)tdt−∫0+∞e−(a−j)tdt
指数函数的不定积分公式：
∫ e − k t d t = − 1 k e − k t + C ( k ≠ 0 ) \int e^{-kt} dt = -\frac{1}{k} e^{-kt} + C \quad (k \neq 0) ∫e−ktdt=−k1e−kt+C(k=0)
所以：
I = [ − 1 a + j e − ( a + j ) t ] 0 + ∞ − [ − 1 a − j e − ( a − j ) t ] 0 + ∞ = 0 − ( − 1 a − j ) − [ 0 − ( − 1 a − j ) ] = 1 a + j − 1 a − j = ( a − j ) − ( a + j ) ( a + j ) ( a − j ) = − 2 j a 2 − j 2 I = \left[-\frac{1}{a+j} e^{-(a+j)t} \right]_{0}^{+\infty} - \left[-\frac{1}{a-j} e^{-(a-j)t} \right]_{0}^{+\infty} \\ = 0 - \left(-\frac{1}{a-j}\right) - [0 - \left(-\frac{1}{a-j}\right)] \\ = \frac{1}{a+j} - \frac{1}{a-j} \\ = \frac{(a-j) - (a+j)}{(a+j)(a-j)} \\ = \frac{-2j}{a^2 - j^2} I=[−a+j1e−(a+j)t]0+∞−[−a−j1e−(a−j)t]0+∞=0−(−a−j1)−[0−(−a−j1)]=a+j1−a−j1=(a+j)(a−j)(a−j)−(a+j)=a2−j2−2j
因为 I ( a ) = ∫ 0 + ∞ sin t t e − a t d t I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} e^{-at} dt I(a)=∫0+∞tsinte−atdt，求其积分，可得到 d I ( a ) d a = − 1 a 2 + 1 \frac{dI(a)}{da}=-\frac{1}{a^2+1} dadI(a)=−a2+11，因此， I ( a ) = − a r c t a n ( a ) + C I(a) = -arctan(a) + C I(a)=−arctan(a)+C
证明 ∫ 0 + ∞ sin t t d t = π 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2} ∫0+∞tsintdt=2π，就是求 I ( 0 ) = ∫ 0 + ∞ sin t t d t I(0) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt I(0)=∫0+∞tsintdt 的值等于多少，先看看 I ( ∞ ) I(∞) I(∞)
将 ∞ 代入 I ( a ) ∞ 代入 I(a) ∞代入I(a)， I ( ∞ ) I(∞) I(∞) 的时候， e − a t − > 0 e^{-at} -> 0 e−at−>0 ，因此，积分后， I ( ∞ ) = 0 I(∞) = 0 I(∞)=0
因此， I ( ∞ ) = − a r c t a n ( ∞ ) + C = 0 I(∞) = - arctan(∞) + C = 0 I(∞)=−arctan(∞)+C=0
$$arctan(0)=0 \
arctan(∞) = \frac{\pi}{2} \
arctan(−∞) = -\frac{\pi}{2} \ 所以， 所以， 所以，C = \frac{\pi}{2} ，所以： ，所以： ，所以：I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} e^{-at} dt = -arctan(a) + \frac{\pi}{2} 然后，求 然后，求 然后，求I(0) = \int_{0}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}e^{-0t}dt = - arctan(0) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} 所以，得证： 所以，得证： 所以，得证：\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}dt = \frac{\pi}{2}$$
信号的自变量变换
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思路
x(3t+6) 中，3t + 6，t = 多少，3t + 6 = 0 ? -2
同理，t = -1, 3t+6 = 3；t = 0, 3t + 6 = 6
做这类题目的口诀：
(1)化成标准形式。
(2)前有负号翻转。
(3)系数大于1，压缩：系数小于1，拉伸
(4)加号左移，减号右移
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这里的 x(t) ，是针对任何图像的，这就厉害了，如 👇
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典型的系统
线性系统
定义
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证明
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同理，下面的 x1(t) + x2(t) -> y1(t) + y2(t) 也是任意的
因此，x1(t) 可以用 ax1(t) 表示
例子
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判据
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时不变系统
定义
系统的输出，不会随着时间的变化，而改变
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例子
y(t) = x(2t) 是时不变系统吗？
为什么我图中的证明，是时不变系统，有什么问题吗？
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从上面的步骤可以看出，当我们对输入 x(t) 延迟 t0 之后，得到的输出 y′(t) 确实等于原始输出 y(t) 延迟相同的 t 时间
因此，就这一点而言，似乎系统是时不变的。
然而，这里有一个重要的细节需要注意：在 y(t)=x(2t) 中，时间被缩放了。
这意味着该系统实际上是一个时变系统（Time-Variant System, TVS）。
因为对于时不变系统，延迟 t 的输入，应该产生与原始输出相同的波形，只是简单地整体移动了 t 时间单位，而不会改变波形的形状或频率内容
但在本例中，由于时间被缩放，所以即使输出看起来像是正确延迟了 t ，其内部的时间尺度已经改变了，这等效于，改变了波形的频率成分，这是时变系统的一个特征。
因此，y(t)=x(2t) 是一个时变系统
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判据
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线性时不变(LTI)系统的定义
世界上，没有绝对意义的线性
比如喇叭
- 我电流 1 倍，输出声音 1 倍；电流 2，输出 2；；；但是，电流 100、99999 ，输出也是吗？ 总有一个极限
- 输入 2 个人声音，输出 2 个人声音；；；输入 999、999999 个声音，还能原封不动输出吗？
线性，只是对于现实问题的，近似
为什么研究线性系统？我们才可以进行分析（不然没办法分析），从而，得到感性认识
比如摩檫力，只是一种近似（如果不这样表达，怎么出题呢？）
如果不这样做，我们就没法分析了（只是，近似的分析）（仅仅是得到，感性的认识） —— 这也是，我们为什么，研究线性系统
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为什么研究时不变系统？只能研究这个。。。也是近似的假设
如果不研究时不变的，我们如何去研究时变系统呢？根本研究不出来，因为今天这样，明天那样！
因此，时不变，也是对自然界中，一个，近似的假设
LTI 很简单
如果，我们知道 LTI 系统的一个 x(t) 对应的 y(t)
那么，我们就知道了，所以 x(t) 对应的 y(t)
离散 LTI 系统，卷积公式推导
单位脉冲响应
x[n] = δ[n]，x[n] - LTI系统 > h[n]
h[n]：单位脉冲响应
👆，非常特殊，只要知道 h[n] —— 其他信号，输入 LTI 系统的，都能算出，其 yn: y [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] y[n] = x[n] * h[n] y[n]=x[n]∗h[n]（*：卷积））
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列表法举例
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取值范围：取最边缘的（包含关系）
- 比如，图中的例子，-1 哪里，单算 -1 * h[n]，范围是 ：-1(x[n]) + -1(h[n]) = -2
- 同理，2 哪里，单算 2 * h[n]，范围是 ：2(x[n]) + 2(h[n]) = 4
一个题目 x[n] = a^n · u[n]
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( 1 − a ) ( 1 + a + a 2 + . . . + a n ) = 1 ⋅ ( 1 + a + a 2 + . . . + a n ) − a ⋅ ( 1 + a + a 2 + . . . + a n ) = ( 1 + a + a 2 + . . . + a n ) − ( a + a 2 + . . . + a n + 1 ) = 1 − a n + 1 (1-a)(1+a+a^2+...+a^n) \\ =1⋅(1+a+a^2+...+a^n)−a⋅(1+a+a^2+...+a^n) \\ = (1+a+a^2+...+a^n) - (a+a^2+...+a^{n+1})\\ = 1 - a^{n+1} (1−a)(1+a+a2+...+an)=1⋅(1+a+a2+...+an)−a⋅(1+a+a2+...+an)=(1+a+a2+...+an)−(a+a2+...+an+1)=1−an+1
列表法计算复杂度
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加法： 1 + 2 + 3 + . . . + ( N − 1 ) + ( N − 2 ) + . . . + 1 1 + 2 +3 + ... + (N - 1) + (N - 2) + ... + 1 1+2+3+...+(N−1)+(N−2)+...+1
根据等差数列求和公式 S n = n 2 ( a + a n ) S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) Sn=2n(a+an)
- 前半部分，求和结果为： N − 1 2 ( 1 + N − 1 ) = ( N − 1 ) N 2 \frac{N-1}{2}(1 + N - 1) = \frac{(N-1)N}{2} 2N−1(1+N−1)=2(N−1)N
- 后半部分，求和结果为： N − 2 2 ( 1 + N − 2 ) = ( N − 2 ) ( N − 1 ) 2 \frac{N-2}{2}(1 + N - 2) = \frac{(N-2)(N-1)}{2} 2N−2(1+N−2)=2(N−2)(N−1)
- 总： ( N − 1 ) N 2 + ( N − 2 ) ( N − 1 ) 2 = N 2 − N 2 + N 2 − 3 N + 2 2 = 2 N 2 − 4 N + 2 2 = N 2 − 2 N + 1 = ( N − 1 ) 2 \frac{(N-1)N}{2} + \frac{(N-2)(N-1)}{2} = \frac{N^2-N}{2} + \frac{N^2-3N + 2}{2} = \frac{2N^2-4N+2}{2} = N^2-2N+1=(N-1)^2 2(N−1)N+2(N−2)(N−1)=2N2−N+2N2−3N+2=22N2−4N+2=N2−2N+1=(N−1)2
计算复杂度，为 O(N^2)
而通过快速傅里叶变化，计算复杂度，为 O(NlogN)（第四章内容）
离散卷积公式法
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证明，通过举例子的方式
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最后，可以证明：通过 LTI、其次、叠加，即可证明
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👆，就可以写成
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公式使用
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h[n]: 1 1 2 -1
翻转 -1 2 1 1
然后，x[n] 3 2 1 -1，和 -1 2 1 1 对
3 2 1 -1
-1 2 1 1 -> -2 为 3
3 2 1 -1
-1 2 1 1 -> -1 为 3 x 1 + 2 x 1 = 5
3 2 1 -1
-1 2 1 1 -> 0 为 3 x 2 + 2 x 1 + 1 x 1 = 9
连续LTI系统卷积公式推导
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如果我们知道，宽度为 1 的方波，那么，就能知道，任意一个函数 f(t)，对应的方波输出（近似）
如果宽度无限窄，就可以知道，所有 f(t) 对应的输出了
无限窄的信号 δ(t) —— 冲激函数
冲激函数
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连续 LTI 系统卷积推导 y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau y(t)=x(t)∗h(t)=∫−∞+∞x(τ)h(t−τ)dτ
用 δΔ(t) 去做连续函数的近似 👇
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👆 x(kΔ) 中的 kΔ 是函数入参，h(t-kΔ) 中的 kΔ 是位移
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👆 x(τ) 中的 τ 是函数入参，h(t-τ) 中的 τ 是位移
离散、连续卷积公式
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卷积，翻译的算好的：
- 卷：翻转
- 积：相乘
冲激函数的性质
性质 2 证明
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积分中值定理
积分中值定理（Integral Mean Value Theorem）是微积分中的一个重要定理
它描述了一个函数，在区间上的积分，与该区间上，某一点函数值之间的关系。
具体来说，积分中值定理指出：对于一个连续函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上，存在一个点 c∈[a,b] 使得：
f ( c ) = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx f(c)=b−a1∫abf(x)dx
假设我们有函数 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2 在区间 [1,3] 上
我们可以使用积分中值定理来找到一个点 C，使得该点的函数值，等于 f(x) 在这个区间上的平均值
- 计算积分： ∫ 1 3 x 2 d x = [ x 3 3 ] 1 3 = 3 3 3 − 1 3 3 = 27 3 − 1 3 = 26 3 \int_1^3 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} ∫13x2dx=[3x3]13=333−313=327−31=326
- 求平均值： 1 3 − 1 ∫ 1 3 x 2 d x = 1 2 × 26 3 = 13 3 \frac{1}{3 - 1} \int_1^3 x^2 \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{26}{3} = \frac{13}{3} 3−11∫13x2dx=21×326
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