母函数基础

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在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”
2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “

对于数列C(n,0)，C(n,1)，C(n,2)，C(n,3)……C(n,n)的母函数为:
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x^2+……+C(n,n)*x^n;
C(n,0)，C(n,1)，C(n,2)，C(n,3)……C(n,n)可以看做由函数(1+x)^n产生
(1+x)^n为母函数或生产函数

对于数列C(n,0)，-C(n,1)，C(n,2)，-C(n,3)……C(n,n)的母函数为:
(1-x)^n=C(n,0)-C(n,1)*x+C(n,2)*x^2+……+(-1)^n*C(n,n)*x^n;

例子: