矩形的对角线经过的小方格数量

前两天数学建模校内选拔赛的题目中，有一问是让求出最短路径以及经过的方格数，而最短路径是很多段折线，需要计算每段折线经过的方格数再加起来。

本来打算直接在程序里加几行代码计算的，后来发现可以直接推导出结论：

对于一个长度为$m$，宽度为$n$的矩形，均分成$m\ast n$个小方格，则对角线经过的小方格数量为$m+n-(m,n)$，其中$(m,n)$为$m$和$n$的最大公约数。

证明：

①先考虑$m$和$n$互质的情况，即$(m,n)=1$时，由于对角线的斜率为$k=\frac{n}{m}$为既约分数，显然对角线除了两个端点外不会经过内部格点。

而对角线与$m+1$条竖直线有$m+1$个交点，与$n+1$条水平线有$n+1$个交点，由于对角线的两个端点被重复计算，所以对角线与所以格线共有$m+1+n+1-2=m+n$个交点。

而这$m+n$个交点将对角线分为$m+n-1$段，每一小段都与包含它的小方格一一对应，所以对角线共经过了$m+n-1$个小方格。

②再考虑$m$和$n$不互质的情况，即$(m,n)=d>1$时，由于对角线的斜率为$k=\frac{n}{m}=\frac{n/d}{m/d}$，所以对角线一共经过了$d$个长为$\frac{m}{d}$，宽为$\frac{n}{d}$的小矩形。取长为$\frac{m}{d}$，宽为$\frac{n}{d}$的小矩形作为研究对象，每一个小矩形都是长宽互质的。使用①中的结论，对角线在每个小矩形中经过的小方格数为$\frac{m}{d}+\frac{n}{d}-1$，所以一共经过了$d\ast (\frac{m}{d}+\frac{n}{d}-1)=m+n-d$个小方格。

综合①②，对于一个长度为$m$，宽度为$n$的矩形，均分成$m\ast n$个小方格，则对角线经过的小方格数量为$m+n-(m,n)$，其中$(m,n)$为$m$和$n$的最大公约数。