线性代数几何意义大杂烩

矩阵等价

定义

对同型矩阵AB，存在可逆矩阵P（行变换）可逆矩阵Q（列表换）使得：$A=PBQ$

几何意义

两个矩阵以矩阵列向量为基坐标展开的空间相同，那么两个矩阵等价；

特点

两个矩阵等价，那么，两者质相同（与几何意义一致）
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矩阵相似

定义

对同型方阵AB，存在可逆矩阵P使得 $A=P^{-1}BP$；

几何意义

两个矩阵AB是在不同的基向量中对同一个变换的表示；
P以β为基表示的α基向量构成的矩阵；
设A矩阵所在的基为α， B矩阵所在的基为β；
$i_{\alpha }$为α中的一个向量，$i_{\beta }$为β中的对应向量；
（β坐标可以想象为标准基坐标）

β基坐标–P-->α基坐标；（基坐标的相互转换，和矩阵对向量的变换完全符合）
$i_{\alpha }$–P-->$i_{\beta }$；（矩阵P为新基α的基向量组成的矩阵，所以根据矩阵向量乘法的定义，$P\ast i_{\alpha }=i_{\beta }$，P将在以α为基的向量转化为以β为基的向量）

特点

• 特征值和特征向量相同（想想在不同坐标系中表示的旋转，其特征值都为复数i）
• 行列式相同（在不同坐标系中的相同变换，对图形面积的影响也一定相同）
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矩阵合同

定义

对同型方阵AB，存在一个可逆矩阵P使得，$B=P^T\ast A\ast P$则称矩阵AB合同；

几何意义？

向量的内积在不同坐标系下的表示 都只相差一个合同矩阵；

特征

正负惯性指数、质都相同

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矩阵正交相似

定义

对同型方阵AB，存在一个正交矩阵P使得，$B=P^T\ast A\ast P$则称矩阵AB合同；

几何意义？

既满足相似又满足合同

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其他概念几何意义

矩阵几何意义：以该矩阵为基向量的一次线性变换；
矩阵乘法意义：两个矩阵变换的结果等同于一个矩阵变换的结果；
向量的转置的几何意义：将向量所在维度的空间变换为一维（数）空间，该变换为将该空间中的向量投影到原向量上；
向量点的几何意义：其中一个向量在另一个向量的投影与另一向量的乘积；首先点积为线性变换所以其一定对应一个矩阵变换，而整好前一向量的转置所对应的矩阵对应该变换；（对应高数中的积分）
行列式几何意义：变换前后任意图形面积的比例；（$S_{变换后}/S_{变换前}$）