7.1 动态规划背包问题综述

        动态规划中的背包问题是一类经典的优化问题，主要涉及到在给定的限制条件下（如背包容量），如何选择物品集合以达到某种最优目标（如价值最大）。这类问题通常可以细分为几种类型，包括0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题以及分数背包问题。下面是对这些类型的一个简要综述：

1. 0-1背包问题

        这是最基础的背包问题形式。每种物品只有一件，对于每件物品，只能选择放或不放。状态转移方程可以表示为：（状态只能是二维的）；

其中，𝑓[𝑖][v]表示前i件物品中选择一些装入容量为V的背包可以获得的最大价值；

𝑤[𝑖]​是第i件物品的重量；c[𝑖]是第i件物品的价值。

说白了，如果装进入第i个物品与不装进物品的区别；这里要注意是从f[i-1][v-c[i]] 开始的；

 案例描述：

假设你有一个背包，它的容量是10公斤。现在你面前有4件物品，每件物品有特定的重量和价值：

• 物品1：重量2公斤，价值3元
• 物品2：重量3公斤，价值4元
• 物品3：重量4公斤，价值5元
• 物品4：重量5公斤，价值8元

你的目标是在不超过背包容量的情况下，使背包中物品的总价值最大化。

计算过程：

我们从零开始填充一个动态规划表，其行表示物品数量（从0开始），列表示背包的容量（从0到10）。初始状态为𝑓[0][∗]=0f[0][∗]=0（不考虑任何物品的情况）。

接下来，逐步填充表格：

• 当前背包容量为0时，无论考虑哪件物品，价值都为0。
• 考虑物品1（重量2，价值3&#