求斐波那契数列的第n项(思想与实现)

本文介绍了一种经典的数学问题——斐波那契数列,并提供了递归和非递归两种求解方法。递归方法简洁但效率较低,而非递归方法采用循环迭代,效率较高。

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题目描述

大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项。

n<=39

首先在这里先讲讲这个什么是斐波那契数列,斐波那契数列的第一项是0,第二项是1

然后从第三项开始每项等于前两项的和.f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

f(0) = 0       f(1) = 1      f(2) = f(1) + f(0) = 1        f(3) = f(2) + f(1) = 2 .......

以此类推则是:f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)     n >=2;

那么这个题目需要求这个斐波那契数列的第n项是多少?

这个时候有两种解题思路:

第一种就是递归的思路:而递归主要是要找到这个递归的出口,此处的出口是n = 0或者n = 1的时候,但是

递归有一种非常大的弊端,耗费是时空都很大(求每次的n,和n-1都算了一个n-2后面的,造成很大的浪费)。

public int Fibonacci(int n) {
       if(n == 0){
            return 0;
        }
        if(n == 1){
            return 1;
        }
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

第二种是非递归的思路:则是利用循环解除递归

public int Fibonacci(int n) {
        int x, y, z;
        if(n == 0 || n ==1)return n;
        else{
            x = 0; y = 1;
            for(int i = 2; i <= n; i ++){
                z = y;
                y = x + y;
                x = z;
            }
        }
        return y;
    }


在C++中,矩阵快速幂是一种高效计算斐波那契数列第n的方法。斐波那契数列定义为:F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。通过矩阵形式可以表示为: ``` [ F(n) ] = [ 1 1 ]^n [ F(1) ] [ F(n-1) ] [ 1 0 ] [ F(0) ] ``` 上述矩阵的n次方可以通过快速幂算法进行高效计算。 矩阵快速幂的核心思想是利用分治法将幂的计算过程分解为更小的幂次的计算。具体步骤如下: 1. 首先定义一个矩阵,例如: ``` Matrix = [ 1 1 ] [ 1 0 ] ``` 2. 使用快速幂算法计算矩阵的n次方。快速幂算法通过不断地将指数n分解为二的幂次来减少乘法的次数。具体来说,对于矩阵M指数n,可以按照以下方式递归或迭代计算M的n次方: - 如果n为偶数,那么M^n = (M^(n/2))^2。 - 如果n为奇数,那么M^n = M * (M^(n-1))。 3. 使用初始值构造单位矩阵,然后用快速幂计算得到的结果初始单位矩阵相乘,最终得到的矩阵左上角的元素就是斐波那契数列第n。 下面是使用C++实现矩阵快速幂斐波那契数列第n的代码示例: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MOD = 1000000007; // 定义模数,用于处理大数问题 typedef vector<vector<long long>> Matrix; // 矩阵乘法 Matrix multiply(const Matrix &a, const Matrix &b) { Matrix result(2, vector<long long>(2)); for (int i = 0; i < 2; ++i) { for (int j = 0; j < 2; ++j) { result[i][j] = 0; for (int k = 0; k < 2; ++k) { result[i][j] = (result[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD; } } } return result; } // 矩阵快速幂 Matrix quickPow(Matrix base, long long n) { Matrix result(2, vector<long long>(2, 1)); while (n > 0) { if (n & 1) result = multiply(result, base); base = multiply(base, base); n >>= 1; } return result; } // 计算斐波那契数列第n int fibonacci(int n) { if (n == 0) return 0; Matrix base = {{1, 1}, {1, 0}}; Matrix result = quickPow(base, n - 1); return result[0][0]; // 返回F(n) } int main() { int n; cout << "Enter the position of the Fibonacci sequence: "; cin >> n; cout << "Fibonacci number at position " << n << " is: " << fibonacci(n) << endl; return 0; } ``` 这个程序通过定义矩阵乘法矩阵快速幂算法,计算出斐波那契数列的第n
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