Manacher算法理解

插入特殊符号#和&的预处理过程不解释，只解释最核心的内容。

正文：

表示（经过预处理之后）字符串 中第 个字符的回文子串长度，因此 即为原字符串 中最长回文子串的长度（容易验算，不解释）

：当前最长回文子串中心位置

：当前最长回文子串的右边界位置

结论：如果 ，那么

看不懂没关系，我先翻译成人话： 如果i点包含在当前最长回文子串之中(肯定要包含，不然求个鬼)，那么i点的回文子串长度为下列两种情况的最小值：

关于中心 对称的点 的已知子串长度（左边对称点 的最长回文子串长度已知）

右边界到 点的距离（无论超过边界还是正好处于边界，都取最小值 ）

如果你能看懂上面说的是什么，那么你就大体了解了Manacher算法

现在开始分析：

因为 和 是关于 的对称点，而 子串（以 为中心的最长回文子串，下同

）肯定是左右对称且包含了 子串(前提)，那么 子串必定与 子串对称，所以可以直接继承已经计算过的 的最长子串长度 ，即

在这种情况下， 子串并不完全包含在 子串中，但是容易看出的是， 子串至少会有 的长度（正好达到边界），即

因此 子串的长度取这两种情况的最小值 ，即：

证毕#

补充说明一下： 子串的长度如果超过边界 ，那么先取最小值 ，再接下去匹配过程中会继续判断超过 的部分是否对称