快速幂

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快速幂

快速幂顾名思义，就是快速算某个数的多少次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

<cmath>库中pow函数的时间复杂度就是O(N)；

原理

以下以求a的b次方来介绍 [1]  

把b转换成 二进制数。

该二进制数第i位的权为

例如

11的二进制是1011

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

因此，我们将a¹¹转化为算

代码比较

常规求幂

1 2 3 4 5 6 7

int  pow1(inta,intb) { int  r=1; while (b--) r*=a; return  r; }

二分求幂（一般）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

int  pow2(inta,intb) { int  r=1,base=a; while (b!=0) { if (b%2) r*=base; base*=base; b/=2; } return  r; }

快速求幂（位操作）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

intpow3(inta,intb) { intr=1,base=a; while (b!=0) { if (b&1) r*=base; base*=base; b>>=1; } return  r; }

快速求幂（位运算，同pow3函数，但更复杂）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

intpow4(intx,intn) { if (n==0)return1; else { while ((n&1)==0) { n>>=1; x*=x; } } intresult=x; n>>=1; while (n!=0) { x*=x; if ((n&1)!=0) result*=x; n>>=1; } return  result; }