【23】剑指offer——整数中1出现的次数

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

解题思路：

思路1：暴力，原本以为过不了，竟然过了 。。。 

代码如下：（都不好意思粘贴代码了 7^7

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        if (n == 0){
            return 0;
        }
        int ans = 1;
        int tol;
        for (int i = 2; i <= n; i++){
            tol = i;
            while (tol != 0){
                if (tol%10 == 1){
                    ans++;
                }
                tol = tol / 10;
            }
        }
        return ans;

    }
};

思路2：咳咳，接下来我们用温柔的解法来解释这道题目，其实这道题目就是总结找规律的题目，我之前想到的是分别统计每个位数（个位、十位、百位 。。）上“1”的个数，然后求和即可，奈何当时思路不清晰，没有总结出一个统一的规律，之后稍加梳理，便可以总结出相应的规律。

首先我们来看个位，

对于个位来说，“1”的出现仅仅是1，11上的个位，21上的个位等等，可以看出1的出现周期是每10个出现一次，因此我们可以通过个位以上的高位数字得到个位上1的个数，同时要注意特殊情况！当数字是20的时候，只出现了2个1，但是十位有进位，因此当个位是0的时候我们需要特殊处理。综上，我们可以得到个位上出现1的个数为：

n/10 * 1+(n%10!=0 ? 1 : 0)

我们接下来看十位数出现1的个数，十位出现1仅仅是在10~19，110~119。。。这里把10~19定义为一个完整的周期，因此我们可以得到，当十位数字大于1时，就会有完整的周期出现，这时十位数字出现1的个数仅仅是由十位的高位数字所就决定；当十位数字等于1时，这时存在一个不完整的周期，这个不完整周期中1的个数由十位的低位数字决定；当十位数字等于0时，缺少一个完整周期。综上，可以得到十位数字出现1的个数为，

• 设k = n % 100，即为不完整周期的数字
• 归纳式为：(n / 100) * 10 + (if(k > 19) 10 else if(k < 10) 0 else k - 10 + 1)

下面我们继续来看百位，有了十位做铺垫，我们很容易就可以推导出百位上1出现的个数，即当百位数字大于1，有完整的整周期，由高位数字决定整周期的数目；当百位数字等于1，存在不完整周期，由低位数字决定不完整周期中1的个数；当百位数字等于0，缺少一个完整周期，综上，可以得到百位数字上1出现的个数，

• 设k = n % 1000
• 归纳式为：(n / 1000) * 100 + (if(k >199) 100 else if(k < 100) 0 else k - 100 + 1)

这时我们已经发现了规律，把个位的计算公式也写成通式的形式，即，

• k = n % 10
• 个位数上1的个数为：n / 10 * 1 + (if(k > 1) 1 else if(k < 1) 0 else k - 1 + 1)

综上，我们可以得到这个题的答案是：

• k = n % (i * 10)
• count(i) = (n / (i * 10)) * i + (if(k > i * 2 - 1) i else if(k < i) 0 else k - i + 1)

• sum1 = sum(count(i))，i = Math.pow(10, j), 0<=j<=log10(n)

看牛客网的大神觉得太多的if-else让代码变得复杂，所以想把判断语句改为更简单的形式，即当不完整周期出现的时候选择不完整周期，不完整周期不存在的时候（为负数或i）选择0 或 i，具体表达式如下：

min(max((n mod (i*10))−i+1,0),i)

按照这个思路写的代码如下：

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        if (n == 0){
            return 0;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i = i * 10){
            long dri = i * 10;
            int a = n%dri - i + 1;
            if (a > 0){
                if (a > i){
                    ans += i;
                }
                else{
                    ans +=a;
                }
            }
            else {
                if (i > 0){
                    ans += 0;
                }
                else {
                    ans += i;
                }
            }
            ans += n/dri*i;
        }
        return ans;
    }
};

思路3：研究思路2的推导，我们发现不论是否存在不完整周期，1的个数都由当前位数的高位决定整体数目，低位决定不完整周期的1的个数，因此对n进行分割，分为两部分，高位n/i，低位n%i

当i表示百位，且百位对应的数>=2,如n=31456,i=100，则a=314,b=56，此时百位为1的次数有a/10+1=32（最高两位0~31），每一次都包含100个连续的点，即共有(a%10+1)*100个点的百位为1

当i表示百位，且百位对应的数为1，如n=31156,i=100，则a=311,b=56，此时百位对应的就是1，则共有a%10(最高两位0-30)次是包含100个连续点，当最高两位为31（即a=311），本次只对应局部点00~56，共b+1次，所有点加起来共有（a%10*100）+(b+1)，这些点百位对应为1

当i表示百位，且百位对应的数为0,如n=31056,i=100，则a=310,b=56，此时百位为1的次数有a/10=31（最高两位0~30）

综合以上三种情况，当百位对应0或>=2时，有(a+8)/10次包含所有100个点，还有当百位为1(a%10==1)，需要增加局部点b+1

这里补8非常巧妙，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)。

代码如下：

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/bd7f978302044eee894445e244c7eee6?f=discussion
来源：牛客网

    int count=0;
    long long i=1;
    for(i=1;i<=n;i*=10)
    {
        //i表示当前分析的是哪一个数位
        int a = n/i,b = n%i;
        count=count+(a+8)/10*i+(a%10==1)*(b+1);
    }
    return count;
    }
};

其实通过思路2和思路3的分析，我们不仅可以得到1的个数，也可以得到数字1~9任意一个数字出现的次数，同时数字0情况比较特殊，需要单独进行分析。

参考资料：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/bd7f978302044eee894445e244c7eee6?f=discussion 牛客网