New 21 Game 新21点

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

1. 0 <= K <= N <= 10000
2. 1 <= W <= 10000
3. 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
4. 此问题的判断限制时间已经减少。

思路：先把题意说清楚，不然题目都没读懂怎么做题，给定范围为[1,W]的牌，每次可以选取一张并且累加，当得到的牌的点数大于等于K小于等于N时就停止，求最后停止时抽取的牌的次数占总抽取次数的比例，假设我们要计算最后累加和是x的概率，有两种选择方法：

方法1：如果x<=W，有两种选择，可以先选择数值为1,2,3,4...x-1的点数，然后再选择分别对应为x-1,x-2,x-3...1的点数，或者直接选择点数为x的牌。注意这里的x-1要小于K，因为前一种选择是分两次选择的，如果第一次选择的点数都大于等于K了，就不能进行第二次选择了

方法二：如果x>W，那么我们不可能只选一次，那么我们可以在点数为x-1,x-2,x-3...x-w中选择点数分别为1,2,3,...w的点数，然后累加和也是x，这里要注意，因为这里要分两次选择，所以选择的上限x-1也必须小于K。

所以递推公式如下：

dp[i]=dp[1]/W  +dp[2]/W+...     dp[min(k-1,i-1)]/W+1.0/W   //如果i<=W
     =dp[i-W]/W+dp[i-W+1]/W+...+dp[min(k-1,i-1)]    如果i>W

所以综上所述，我们维护一个一维数组dp，其中dp[i]表示当目标为i时的概率，由于最后一次的选择的排数的范围为[i-w,i-1]，这时可选的牌有[1,w]，所以最后的点数和是[i,w+i-1]，对应我们是要求大于等于K的数，所以最后的累加范围是[K,K+W-1]，所以我们的结果便是返回dp[i]（K<=i<=K+W-1）的和。最后还有一个小技巧，由于最后的范围是[K,K+W-1]，如果N>=K+W（意味着在最后一次累加和[K-W,K-1]选择时，无论选择[1,W]中的任何数，最后的累加和一定在[K,N]范围内，在这种条件下[K,K+W-1]是[K,N]的子集，所以直接返回1，如果N<K+W，那么我们最后的答案就只用累加[K,N]的dp值即可，所以申请长度为N+1的数组即可）

class Solution {
public:
double new21Game(int N, int K, int W) {
	if (K == 0 || N >= (K + W)) return 1.0;
	vector<double> dp(N + 1);
	double res = 0.0;
	double sum = 0.0;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		dp[i] = i <= W ? sum / W + 1.0 / W : sum/W;  //如递推公式红色标出所示，两种的递推公式只有红色是不一样的，其余都是累加前面W项的和
		if (i < K) sum += dp[i];          //当i<k时min(k-1,i-1)=i-1，所以继续累加前面的和，当i>=k时min(k-1,i-1)=k-1，所以就不累加了
		if (i > W) sum -= dp[i - W];
		if (i >= K) res += dp[i];
	}
	return res;
}
};