使用张量进行去噪的理解

最新推荐文章于 2023-10-13 23:23:54 发布

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分类专栏：张量

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什么是张量

张量是多维数组的泛概念。一维数组我们通常称之为向量，二维数组我们通常称之为矩阵，但其实这些都是张量的一种。以此类推，我们也会有三维张量、四维张量以及五维张量。那么零维张量是什么呢？其实零维张量就是一个数。

张量的基本操作

两个张量的内积

$<\chi,y>=\sum_{i_1=1}^{I_1} \sum_{i_2=1}^{I_2} ... \sum_{i_N=1}^{I_N} x_{i_1 i_2 ... i_N} y_{i_1 i_2 ... i_N}$

介绍

$image[I_{clean}]+noise[\eta]$

算法描述

张量简介

高阶奇异值分解（HOSVD）

什么是奇异值分解

奇异值分解最早是Beltrami与1873年对实正方矩阵提出来的。Beltrami从双线性函数：
$f(x,y)=x^TAy,A\in \R^{n \times n}$

出发，通过引入线性变换 $\xi$ ， $\eta$ ，将双线性函数变为 $f(x,y)=\xi^TS\eta$ ，其中：
$S=U^T A V$

矩阵的奇异值分解
令 $\in \R^{m \times n}$ ，则存在正交矩阵 $\in \R^{m \times m}$ 和 $\in \R^{n \times n}$ 使得：
$\Sigma V^T$
式中 $\Sigma=\left[ \begin{array}{cc} \Sigma_1&o\\ o&o \end{array} \right]$ ，且 $\Sigma_1=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdot \cdot \cdot,\sigma_r)$ ，其对角元素按照顺序
$\sigma_1 \geqslant \sigma_2 \geqslant \cdot \cdot \cdot \sigma_r >0,~~~r=rank(A)$

排序。
酉矩阵 设 $\in C^{n \times n}$ ，若A满足 $A^HA=I$ ，则称A为酉矩阵。
奇异值分解的理论证明
设 $\in C_r^{m \times n}(r>0)$ ，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得：
$U^HAV=\begin{pmatrix}\Sigma&o\\o&o\end{pmatrix}$

式中： $\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdot \cdot \cdot,\sigma_r),\sigma_i$ 为A的非零奇异值。而：
$A=U\begin{pmatrix}\Sigma&o\\o&o\end{pmatrix}V^H$

称为A的奇异值分解。
证明：由于 $A^HA$ 为Hermite阵，则存在n阶酉矩阵V使得：
$V^HA^HAV=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdot \cdot \cdot,\lambda_n)=\begin{pmatrix}\Sigma^2&o\\o&o\end{pmatrix}$

将V分块为：
$V=(V_1,V_2)~~~~(V_1 \in C^{n \times r},V_2 \in C^{n \times (n-r)})$

得：
$V_1^HA^HAV_1=\Sigma^2,V_2^HA^HAV_2=0$

于是：
$\Sigma^{-1} V_1^HA^HAV_1 \Sigma^{-1}=I_r,(AV_2)^HAV_2=0$

从而 $AV_2=0$ 。又记 $U_1=AV_1 \Sigma^{-1}$ ，则 $U_1^HU_1=I$ ，即 $U_1$ 的r个列是两两正交的单位向量。取 $U_2 \in C^{m \times (m-r)}$ 使 $U=(U_1,U_2)$ 为m阶酉矩阵，即 $U_2^HU_1=0,U_2^HU_2=I_{m-r}$ 。则有：
$U^HAV=\begin{pmatrix}U_1^H\\ \\U_2^H\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}V_1,V_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}U_1^HAV_1&U_1^HAV_2\\ \\U_2^HAV_1&U_2^HAV_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}U_1^H(U_1 \Sigma)&0\\ \\U_2^H(U_1 \Sigma)&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\Sigma&0\\ \\0&0\end{pmatrix}$

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