NOIP 2008 双栈排序 （COGS 221） 二分图

哎，感觉自己写题很少独自想出可行的解题思路，要不是行不通，要不是会wa，要不就是想不出来。然而外界得稍微有点提示才能想出来。比如这道题，一开始自己想地乱七八糟的，单纯的贪心wa掉了，搜索t了。搜了下题解看到了二分图、p1[k] < p1[i] < p1[j]、不能在同一个栈中；这些内容自己才明白解这道题的一个方法。这么搞不行啊，要提高独立思考能力；谁都可以看懂，但是想出是靠能力的。

刚刚小吐槽下自己捉急的状态。下面说正经的。这道题的关键在于判断当前入栈序列中第一个元素进入哪个栈。换句话说，如果我们知道了每个元素应该进入哪一个栈，那么字典序操作序列就可以很轻易的得出了，模拟一下就可以。

要知道每个元素应该进那个栈，可以想到有一些元素（比如第一个）是可以进任意一个栈，而有些不可以和它进同一个栈，通过这些冲突关系我们可以得到每个元素进哪个栈。

思考对于i < j，a[i]和a[j]不能进同一个栈的条件是什么：存在k > j，满足a[k] < a[i] < a[j]。这时因为a[k]是三个中最小的，而在输入序列中是最后面的，所以在a[k]入栈前a[i]和a[j]肯定不会被pop，又a[i] < a[j] && i < j，所以a[i]和a[j]此时不可以进入同一个栈。

我们根据这个冲突关系连边：对于存在k > j > i，满足a[k] < a[i] < a[j]，连一条i到j的无向边。而显然只有整个图是二分图的时候才会有解，那么我们进行二分图染色，假设染1为进入栈1，染2为进入栈2，为了字典序最小，所以给一个未染过色的连通块染色时默认从1开始。

染色失败输出0。成功后就可以得到每个元素应该进哪个栈了。之后根据字典序要求模拟一遍操作即可。

不过在建图时有个小细节，就是寻找k时我们需要一个辅助数组mn[i]表示min{a[j]} i+1 <= j <= n。而i，j连边只需要判断a[i] < a[j] && mn[j+1] < a[i]即可，不过考虑当j==n时，mn[n+1]值应该是0吗？如果是0，很多点都会与最后一个点连边，那么最后一个点就有可能进入栈2甚至导致染色失败，这个过程是没有问题的，但是想想，为了字典序最小，最后一个点是否可以进入栈2。其实很容易论证最后一个点必然要进入栈1（从字典序的角度思考）。所以mn[n+1]设为无穷大即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, a[1005], mn[1005], col[1005];
int t1, t2, cnt = 1, s1[1005], s2[1005];
bool r[1005][1005]; 

bool color(int u){
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(!r[u][i]) continue;
        if(col[i] == col[u]) return 0;
        if(!col[i]){
            col[i] = 1 + (col[u]==1);
            if(!color(i)) return 0;
        }
    }
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", a+i);
    }   

    mn[n+1] = n+1;
    for(int i = n; i; i--){
        mn[i] = min(mn[i+1], a[i]);
    }

    for(int i = 1; i < n; i++)
    for(int j = i+1; j <= n; j++){
        if(a[i] < a[j] && mn[j+1] < a[i]){
            r[i][j] = r[j][i] = 1;
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(col[i]) continue;
        col[i] = 1;
        if(!color(i))
        {printf("0"); return 0;}
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        while(s1[t1] == cnt)
        {printf("b "); t1--; cnt++;}

        if(col[i] == 1)
        {printf("a "); s1[++t1] = a[i];}
        else 
        {printf("c "); s2[++t2] = a[i];}

        if(s2[t2] == cnt)
        {printf("d "); t2--; cnt++;}
    }
    while(cnt <= n){
        if(s1[t1]==cnt)
        {printf("b "); t1--; cnt++;}
        else
        {printf("d "); t2--; cnt++;}
    }
    return 0;
}