排列数A(n, m)的计算

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本文介绍如何在大规模数值下高效计算排列数，并通过快速乘法避免溢出问题，提供三种实现方式，包括一种O(1)级别的快速乘法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

排列数是在n个互不相同的数中选出m个能组成的不同次序的排列的方案数。
公式上就等于组合数*全排列，即A(n, m) = n! / (n-m)!

可以说是a1*a2*a3……*am，ai = n-m+i。所以也是一个巨大的数，在计算时通常会要求模P。

举一道题：http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=2037
给出n, m, p，求A(n, m) % p。

虽然m很小，但是鉴于n，p的范围，直接乘会爆，即使是unsigned long long也储存不下36位的数字。一开始的高精度也爆了（高精乘高精爆了表示很不理解TAT），表示无力。

那么为了不使过程量爆long long，我们回归最原始的加法运算，不过用类似快速幂的快速乘来加速这个过程。

L mult(L i, L j, L p){
    L ans=0;
    while(j){
        if(j & 1) ans = (ans+i) % p;
        i = (i+i) % p;
        j >>= 1;
    }
    return ans;
}

还有递归式的。

L mult(L i, L j, L p){
    if(j <= 1) return i*j;
    L t = mult(i, j>>1, p);
    t += t;
    if(j & 1) t += i;
    return t % p;
}

然而还有某神犇的O（1）快速乘：
原作者本题网页中见。

L mult(L x, L y, L P){
    x %= P;
    y %= P;
    L k = x*y;
    L j = (L)(((long double)x*y+0.5)/P);
    L ans = ( (k - j * P) %P + P) % P;
    return ans;
}

完整代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
typedef long long L;
using namespace std;

L n, m, p;

L mult(L x, L y, L P){
    x %= P;
    y %= P;
    L k = x*y;
    L j = (L)(((long double)x*y+0.5)/P);
    L ans = ( (k - j * P) %P + P) % P;
    return ans;
}

L calc(L l, L r, L p){
    L ans = 1;
    for(L i = l; i <= r; i++){
        ans = mult(ans, i, p);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p);
    printf("%lld", calc(n-m+1, n, p));
    return 0;
}