c++实现斐波那契数列

最新推荐文章于 2025-07-01 20:24:19 发布

原创最新推荐文章于 2025-07-01 20:24:19 发布 · 6.4k 阅读

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本文探讨了使用递归实现斐波那契数列效率低下的问题，并提出了循环实现的优化方案，降低了时间复杂度至O(n)。此外，还介绍了斐波那契数列在跳台阶问题及其变种中的应用，如不同跳跃步长下的跳法计算以及矩阵覆盖问题的解决方案。

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递归实现

long long Fibonacci(unsigned int n){
	if(n<=0)	return 0;
	if(n==1)	return 1;
	return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}

效率较低，当输入为40时，要等待很久才可计算出结果，分析发现由于递归过程是自大而小的，中间Fibonacci（i）被计算了多次（它的上层总会调到用到它），所以多次进行相同的计算造成算法效率的低下，而且递归层级太多时，可能会导致超出栈溢出，所以考虑采用自底向上的方法来优化如下

循环实现，时间复杂度为O(n)

long long Fibonacci(unsigned int n){
	if(n<=0)	return 0;
	if(n==1)	return 1;
	long long fib_x=0,fib_y=1,myfib=0;
	for(int i =2;i<=n;i++){
		myfib=fib_x+fib_y;
		fib_x=fib_y;
		fib_y=myfib;
	}
	return myfib;
}

斐波那契数列的应用

1.跳台阶问题：1次可跳1级或2级台阶，跳n级台阶有多少种跳法？

分析：设有f(n)种跳法，第一次若跳1级，则后面还有f(n-1)种跳法，第一次若跳2级，则后面还有f(n-2)种跳法。所以，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

2.跳台阶问题进阶：1次可跳1级、2级、...、n级，问有多少种跳法？

分析：类似问题1，数学归纳法可证f(n)=2^(n-1)。

3.矩阵覆盖问题我们可以用2*1的小矩阵横着或者竖着去覆盖大的矩形，请问用8个2*1的小矩阵无重叠地覆盖一个2*8的大矩形，总共有多少种方法？