poj3734(矩阵快速幂)

本文探讨了一个有趣的数学问题:如何计算在特定条件下(红色和绿色块数量均为偶数),一排N个方块可以用几种方式涂上红、蓝、绿、黄四种颜色。通过矩阵快速幂的方法,提供了一种高效的解决方案。

Blocks
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Description

Panda has received an assignment of painting a line of blocks. Since Panda is such an intelligent boy, he starts to think of a math problem of painting. Suppose there are N blocks in a line and each block can be paint red, blue, green or yellow. For some myterious reasons, Panda want both the number of red blocks and green blocks to be even numbers. Under such conditions, Panda wants to know the number of different ways to paint these blocks.

Input

The first line of the input contains an integer T(1≤T≤100), the number of test cases. Each of the next T lines contains an integer N(1≤N≤10^9) indicating the number of blocks.

Output

For each test cases, output the number of ways to paint the blocks in a single line. Since the answer may be quite large, you have to module it by 10007.

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
6

Ai代表两个同时为偶数方案数,Bi表示两个中某一个为偶数方案数,Ci表示两个都为奇数方案数。

则有矩阵递推式:

Ai+1 2 1 0 Ai

Bi+1 = 2 2 2 Bi

Ci+1 0 1 2 Ci


#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<vector>
using namespace std;
//用二维vector来表示矩阵 
typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
typedef long long ll;

const int M=10007;       //模数 
//计算A*B 
mat mul(mat &A,mat &B)
{
	mat C(A.size(),vec(B[0].size()));
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		for(int k=0;k<B.size();k++)
		{
			for(int j=0;j<B[0].size();j++)
			{
				C[i][j]=(C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%M;
			}
		}
	}
	return C;
}
//计算A^n 
mat pow(mat A,ll n)
{
	mat B(A.size(),vec(A.size()));
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		B[i][i]=1;
	}
	while(n>0)
	{
		if(n&1)B=mul(B,A);
		A=mul(A,A);
		n>>=1;
	}
	return B;
}
int n;
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		mat A(3,vec(3));
		A[0][0]=2;
		A[0][1]=1;
		A[0][2]=0;
		A[1][0]=2;
		A[1][1]=2;
		A[1][2]=2;
		A[2][0]=0;
		A[2][1]=1;
		A[2][2]=2;
		mat B=pow(A,n);
		printf("%d\n",B[0][0]);
	}
}



### 关于POJ 1995问题的快速幂C++实现 对于POJ 1995问题,其核心在于通过矩阵快速幂算法高效解决大规模数据下的指数运算。以下是基于引用材料中的相关内容构建的一个完整的解决方案。 #### 矩阵快速幂的核心逻辑 矩阵快速幂是一种高效的计算方式,在处理线性递推关系时尤为有效。例如斐波那契数列可以通过构造特定的转移矩阵来加速计算[^4]。具体来说,给定一个初始状态向量和一个转移矩阵,经过若干次幂运算后可获得目标状态。 以下是一个通用的矩阵快速幂模板: ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 2; // 定义矩阵大小 struct Matrix { long long m[N][N]; }; // 矩阵乘法函数 Matrix multiply(const Matrix& a, const Matrix& b) { Matrix c; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { c.m[i][j] = 0; for (int k = 0; k < N; ++k) { c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j]; c.m[i][j] %= 10000; // 取模操作 } } } return c; } // 快速幂函数 Matrix fastPower(Matrix base, long long exp) { Matrix result; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { result.m[i][j] = (i == j); } } while (exp > 0) { if (exp % 2 == 1) { result = multiply(result, base); } base = multiply(base, base); exp /= 2; } return result; } int main() { long long n; cin >> n; // 初始化转移矩阵 Matrix trans; trans.m[0][0] = 0; trans.m[0][1] = 1; trans.m[1][0] = 1; trans.m[1][1] = 1; // 计算结果矩阵 if (n == 0 || n == 1) { cout << 1 << endl; } else { Matrix res = fastPower(trans, n - 1); // 初始状态向量 long long fib_prev = 1; long long fib_curr = 1; // 输出结果 cout << (res.m[0][0] * fib_prev + res.m[0][1] * fib_curr) % 10000 << endl; } return 0; } ``` 此代码实现了针对斐波那契数列的大规模项求解功能,并采用了取模`%10000`的操作以满足题目需求。其中的关键部分包括矩阵乘法、快速幂以及状态转移的设计[^3]。 #### 特殊注意点 在实际提交过程中需要注意以下几个方面: - **大数组定义**:如果涉及更大的矩阵或者更复杂的动态规划表,则需特别留意内存分配的位置及其范围限制[^2]。 - **时间复杂度控制**:尽管快速幂本身具有较低的时间复杂度O(log n),但在极端情况下仍需验证是否存在进一步优化空间。 - **边界条件处理**:如输入为较小数值时直接返回已知答案而非进入循环计算流程。
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