组合数学 - 01 排列与组合

概念

1. 研究离散数学的排列组合的问题，对离散对象的计数
   （1）研究三大问题：存在性，计数性，优化性
2. 加法法则与乘法法则
   （1）加法法则：分类问题(A->B: 火车3趟，客车2趟；男20，女10；)
   （2）乘法法则：分步问题(A->B->C: A->B火车3趟，B->C客车2趟)
3. 减法法则
   （1）定义A的补集$\overline{A}$：A = S - $\overline{A}$
   （2）一一对应：计数时常用技巧，A容易，B困难，A与B一一对应，对B的计数转为A。
   
4. A 表示集合，| A | 表示集合的个数 m，| B | 个数 n
   （1）| A * B | = m * n
5. 排列和组合
   （1）组合：不考虑顺序，称为组合数 C(4,3) = 4! / 3！
   （2）排列：考虑顺序，称为排列数 P(4,3) = 4 * 3 * 2，P(n,r) = n! / (n-r)！
6. 排列的递推关系
   （1）分布递推（选第一个盒子内的乒乓球，其它）
      [1] P(n,r) = n P(n-1, r-1)
   （2）分类递推（选第一个球，不选第一个球）
      [1] P(n,r) = P(n-1, r) + r P(n-1, r-1)
7. 组合的递推：C(n,r) * r! = P(n,r) = n! / (n-r)！
   (1) C(n,r) = C(n,n-r)
   (2) C(n,l) C(l,r) = C(n,r) C(n-r,l-r)
8. Cayley定理：过n个有标志顶点的树的数目等于n^n-2
9. 组合恒等式
   (1) C(m+n,r) = C(m,0)C(n,r) + C(m,1)C(n,r-1) + … + C(m,r)C(n,0)
      [1] 理解为：红m蓝n球，共抽出 r 个球
10. 格路模型：C(m+n, n)