斐波那契数列——矩阵的幂求解

最新推荐文章于 2024-07-25 12:55:56 发布

XD灬

最新推荐文章于 2024-07-25 12:55:56 发布

阅读量1.5k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：经典算法文章标签：矩阵的幂

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_25425023/article/details/47154611

经典算法专栏收录该内容

8 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种利用矩阵快速幂的方法来高效计算斐波那契数列的大数值问题，尤其适用于数列中非常大的项数情况。通过矩阵相乘和快速幂运算，该方法能够有效地减少计算时间，解决了传统递归方法在大规模数据处理时的时间复杂度过高的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

斐波那契数列的递推公式如下：

F(0) = 0;

F(1) = 1;

F(n + 2) = F(n + 1) + F(n);

求数列的第N项的值对10000取余的结果。( 0<=n<= 10^16)

求解斐波那契数列，如果N比较小的情况下，可以直接打表求解，但是对于N很大的情况下，并不适用。

所以，有些人会想到高精度计算，但是，N达到10^5以上时，时间复杂度难以想象，每计算一个数，需要进行高精度加法。然而还有求解对10000的取余的值。

我们可以用矩阵的幂来求解。斐波那契数列的递推公式为F(n + 2) = F(n + 1) + F(n);可以转换为矩阵的形式

将这公式乘开，还是等于上面的递推公式。因此，得到了F(n)的求解公式

下面的是代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
typedef __int64 ll;

const int M = 10000;

mat mul(mat &A, mat &B)    //矩阵相乘函数
{
	mat C(A.size(), vec(B.size()));  //二维数组
	for(int i = 0; i < A.size(); i++)
		for(int k = 0; k < B.size(); k++)
			for(int j = 0; j < B.size(); j++)
				C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % M;
	return C;
}

mat pows(mat A, ll n)        //快速幂运算
{
	mat B(A.size(), vec(A.size()));  //二维数组
	for(int i = 0; i < A.size(); i++)
		B[i][i] = 1;
	while(n > 0)
	{
		if(n & 1)
			B = mul(B, A);
		A = mul(A, A);
		n >>= 1;
	}
	return B;
}

int main()
{
	ll n;
	while(scanf("%I64d", &n) != EOF) //输入n
	{
		mat A(2, vec(2));
		A[0][0] = 1; A[0][1] = 1;
		A[1][0] = 1; A[1][1] = 0;
		A = pows(A, n);
		printf("%d\n", A[1][0]);
	}
	return 0;
}