软件设计师-数据结构与算法基础-图关键路径【松思园】

一、实际应用价值

关键路径可以求出流程图中的最短时间，找到该流程图中的最关键的路径，当该路径走完，流程也就结束了，表示该流程走完最短需要的时间，可以用来评估我们项目完成的时间。

二、相关概念

2.1 关键路径

这里举一个很简答的例子，比如做饭流程，包括：做菜和做米饭，做菜包括：洗菜>>炒菜（翻炒、调味等），做米饭包括：洗米>>蒸煮。整个饭做好是将菜和饭都完成才算结束，那整个过程最关键的流程是什么呢？
应该是做米饭这个流程（洗米>>蒸煮），因为做米饭是最慢的，最耗时的，生活中我们一般都是先把米饭做上，才去做菜，整个做饭流程的结束，最关键的流程就是做米饭的流程。而我们实际项目中，也是存在各种并行或者前后开展的设计、开发等工作，整个流程存在一条路径（工作的开展顺序），该路径走完后，其他路径在这之前均已完成，那这条路径就是整个流程开展的关键路径，决定着整个流程的完成与否。

2.2 AOV网络

用有向边>>表示>>活动之间开始的先后关系，这种>>有向图>>称为：用定点表示活动网络>>简称AOV网络

2.3 AOE网络

在AOV网络上，边上的权表示完成该活动所需的时间，则称这样的AOV为AOE网络。

2.4 源点、汇点、活动、事件结点

这里我们从其他课程里截图过来：
关键活动：最早开始时间==最迟开始时间 的活动；
关键路径：从源点到汇点的最长的一条路径，或者全部由关键活动构成的路径；

2.5 最早发生时间和最迟发生时间

• 事件的最早发生时间：顶点j的最早发生时间就是从源点到顶点j的最长路径长度，记作Ve(j)，比如上图顶点V4的最早发生时间为a2=6，顶点V5的最早发生时间为 (a2=6) +(a8=1) =7
• 活动的最早发生时间：以顶点j为起点的出边所表示的活动ai的最早开始时间，记作e(i)，求法是该活动边的入顶点的最长路径长度；
• 事件的最迟发生时间：在不推迟整个工程完成的前提下，一个事件允许的最迟的开工时间，实践j允许的最迟发生的时间，记作Vl(j)，比如上图中V4的最迟发生时间：求法是从汇点向该顶点的方向推：终点的最长路径长度-该点到汇点的最长路径长度：10-4=6；V5的最迟发生时间为10-3=7 ，可以看出他的最迟发生时间和最早发生时间相等，这点一定是关键路径上的顶点
• 活动的最迟发生时间：求法是：终点的最长路径长度-入该边顶点沿着该边到汇点的最长路径长度，比如a5活动的最迟发生时间为10-(a5+a8+a9)=10-6=4。

三、求关键路径的步骤

还以上图为例:
第一步：算出各顶点的最早发生时间和最迟发生时间

顶点	最早发生时间Ve(j)	最迟发生时间Vl(j)
V1	0	0
V2	3	3
V3	2	3
V4	6	6
V5	7	7
V6	5	6
V7	10	10

第二步：算出各活动边的最早发生时间和最迟发生时间

活动	最早发生时间e(i)	最迟发生时间l(i)
a1	0	0
a2	0	0
a3	0	1
a4	3	3
a5	3	4
a6	2	5
a7	2	3
a8	6	6
a9	7	7
a10	5	6

第三步，各活动的最早发生时间和最迟发生时间如果相等，说明该活动是最关键路径上的关键活动。a1,a2,a4,a8,a9, 因此我们的关键路径就有两条：a1,a4,a9 和a2,a8,a9