[zjoi2016][小星星][容斥]解题报告

最新推荐文章于 2019-04-13 21:00:00 发布

weiOIer

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分类专栏：解题记录文章标签： dp 容斥原理

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本文介绍了一种在无向图中寻找将树嵌入的所有可能方法的算法。该算法通过映射图上的点到树上，并确保有边的点在图中也有边，使用容斥原理和树形DP进行计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出一张无向图和一棵树，求把树嵌进图的方法数
$n \le 17，n$ 为点数

分析

实际上是把图上的点映射到树上（一一对应），满足树上的有边的点在图中有边
我们容易处理的是不一定满足 一一对应 但是满足后者的情形，于是就可以考虑容斥了
可以考虑枚举把树重标号使用的标号集合，然后容斥，每次可以用 $O\{n^3\}$ 的树形dp处理
复杂度 $O\{2^n\cdot n^3\}$

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 17;

struct edge {
    int nxt, to; 
} E[(N << 1) + 5];
int hd[N + 5], et;

inline void add(int a, int b) {
    E[++ et] = (edge) {hd[a], b}; hd[a] = et;
    E[++ et] = (edge) {hd[b], a}; hd[b] = et;
}

int n, m, mat[N + 5][N + 5];
int st;
ll dp[N + 5][N + 5];

void dfs(int x, int f) {
    for (int i = 1; i <= n; i ++) dp[x][i] = 1;
    for (int i = hd[x]; i; i = E[i].nxt) {
        int to = E[i].to;
        if (to == f) continue ;
        dfs(to, x);
        for (int a = 1; a <= n; a ++) 
            if (st & (1 << a - 1)) {
                ll ret = 0;
                for (int b = 1; b <= n; b ++) 
                    if (mat[a][b] && st & (1 << b - 1))
                        ret += dp[to][b];
                dp[x][a] *= ret;
            }
    }
}

int main() {
    //freopen("star3.in", "r", stdin);
    //freopen("mine.out", "w", stdout);

    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        int a, b; 
        scanf("%d%d", &a, &b);
        mat[a][b] = mat[b][a] = 1;
    }
    for (int i = 1; i < n; i ++) {
        int a, b; 
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }

    int mx = 1 << n;
    ll ans = 0;
    for (st = 0; st < mx; st ++) {
        dfs(1, 1);
        int dd = 0;
        int bak = st;
        while (bak) dd ^= (bak & 1), bak >>= 1;
        ll res = 0; 
        for (int i = 1; i <= n; i ++) 
            if (st & (1 << i - 1)) res += dp[1][i];
        if (dd == (n & 1)) ans += res;
        else ans -= res;
        //printf("%d %lld\n", (n - dd) & 1, res);
    }

    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}