储氢合金/金属氢化物CFD传质公式来源（仅针对JMAK方程）

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本文详细推导了基于JMAK动力学方程的传质公式，涉及关键参数如反应常数、吸放氢的活化能、入口及平衡压力。同时，讨论了合金密度在吸氢过程中的线性变化对模型的影响，特别是吸氢饱和与未吸氢合金密度的角色。

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一、JMAK动力学方程下的传质公式推导

$\mathbf{S_{m}=k=k_{0}\cdot exp(-\frac{E_{a/d}}{RT})\cdot ln(\frac{p}{^{p_{eq}}})\cdot (\rho ^{sat}-\rho ^{t})}$

其中 $k_{0}$ 是反应常数， $E_{a/d}$ 是吸放氢的激活能， $p$ 是入口压力， $p_{eq}$ 是平衡压力， $\rho ^{sat}$ 是吸氢饱和的合金密度， $\rho ^{t}$ 是未吸氢的合金密度，假设吸氢后合金密度线性增加。

补充：

已知 $Avrami$ 方程为 $\xi =1-exp(-Kt^{n})$ ，

因此有： $-ln(1-\xi )=(k_{0}t)^{n}, k_{0}^{n}=K$ ，

处理下，有： $[-ln(1-\xi )]^{\frac{1}{n}}=k_{0}t$ ，

两边微分，得： $\frac{1}{n}\cdot [-(1-\xi )]\cdot [-ln(1-\xi )]^{\frac{1-n}{n}}\cdot (-d\xi )=k_{0}dt$ ，

移项，有： $\frac{d\xi }{dt}=k_{0}\cdot n\cdot (1-\xi )\cdot [-ln(1-\xi )]^{\frac{1-n}{n}}$ 。

设 $k_{0}=F(p,T)$ ，即 $k_{0}$ 与是压力 $p$ 和温度 $T$ 的函数。

如果 $k_{0}=C_{a}exp(\frac{-E_{a}}{RT})ln(\frac{p}{p_{eq}})$ ，则

$\frac{d\xi }{dt}=C_{a}exp(\frac{-E_{a}}{RT})ln(\frac{p}{p_{eq}})\cdot n\cdot (1-\xi )\cdot [-ln(1-\xi )]^{\frac{1-n}{n}}$

假设合金是一个个的小球，它们的平均半径为 $R_{0}$ ，体积为 $V_{0}=\frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}$ ，数量为 $I$ ，

设 $dt$ 时刻内，氢气扩散 $dr$ 的距离，且假设扩散的速率 $v$ 是恒定的， $dr=vdt$ ，

根据菲克定律，扩散通量 $J=D\frac{dc}{dx}$ ，并假设扩散是颗粒球外表面氢气浓度 $c_{out}$ 和圆心处氢气浓度 $c_{in}$ 差异引起的， $c_{out}$ 与充氢气压力 $p_{g}$ 有关， $c_{in}$ 则与平衡压力 $p_{eq}$ 有关，且设 $dc\sim F(p)$ ，即 $dc$ 是 $p$ 的函数， $dx=R_{0}$ ，因此有：

$dm=(J_{x}A_{x}-J_{x-dr}A_{x-dr})dt$ ，假设 $J_{x}A_{x}=4\pi R_{0}^{2}\cdot D\frac{dc}{R_{0}}$ ，

$J_{x-dr}A_{x-dr}=4\pi (R_{0}-dr)^{2}\cdot D\frac{dc}{R_{0}-dr}$ ， $J_{x}A_{x}-J_{x-dr}A_{x-dr}=4\pi D\cdot dc\cdot dr$

所以 $dm=4\pi D\cdot dc\cdot drdt=4\pi D\cdot dc\cdot v\cdot dt^{2}$ ，

由于 $\frac{J}{\rho }$ 的单位是速度 $m/s$ ，因此看成 $\frac{J}{\rho }=v$ ，得到: $dm=4\pi D^{2}dc^{2}dt^{2}/(\rho R_{0})$ ，

因此吸氢增加的体积（蓝色区域） $V_{\beta }=dm/\rho$ ，有： $V_{\beta }=4\pi D^{2}dc^{2}dt^{2}/(\rho^{2} R_{0})$ ，

因此有 $V_{ex}= \int_{0}^{t}I\cdot 4\pi D^{2}dc^{2}dt^{2}/(\rho^{2} R_{0})$ ，所以：

$-ln(1-\xi )=\frac{V_{ex}}{V_{0}}= I\cdot 2\pi D^{2}dc^{2}t^{2}/(\rho ^{2}R_{0})/(\frac{4}{3}\pi R_{0}^{3})=(\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{IDdc\cdot t}{\rho R_{0}^{2}})^{2}$

很多时候扩散系数 $D$ 与温度 $T$ 有关，且服从阿伦尼乌斯定律， $D=D_{0}exp(\frac{-E_a}{RT})$ ，且将 $dc\sim F(p)$ 代入，有： $-ln(1-\xi )=(\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{ID_{0}exp(\frac{-Ea}{RT})F(p)\cdot t}{\rho R_{0}^{2}})^{2}$ ，

令 $C_{a}=\frac{\sqrt{3}ID_{0}}{\sqrt{2}\rho R_{0}^{2}}$ ，有 $-ln(1-\xi )= (C_{a}exp(\frac{-E_a}{RT})\cdot F(p)\cdot t)^{2}$ ，

等式右边指数 $2$ 改为 $n$ ，有： $-ln(1-\xi )= (C_{a}exp(\frac{-E_a}{RT})\cdot F(p)\cdot t)^{n}$ ，

令 $F(p)=ln(\frac{p}{p_{eq}})$ ，可推出： $\frac{d\xi }{dt}=C_{a}exp(\frac{-E_{a}}{RT})ln(\frac{p}{p_{eq}})\cdot n\cdot (1-\xi )\cdot [-ln(1-\xi )]^{\frac{1-n}{n}}$