关于Bessel不等式和Parseval等式的几点注解

范范TT西西

于 2018-11-21 23:25:06 发布

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分类专栏： Hilbert Space

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1. 不等式：设为内积空间， $M=\left \{e_{n}:n\geqslant 1 \right \}$ 为标准正交集， Bessel 不等式如下：

$\sum_{i=1}^{\infty} \left |<x,e_{i}> \right |^{2} \leqslant \left \| x \right \|^{2}$

证明较简单，首先令：

$y=\sum_{i=1}^{n} <x,e_{i}> e_{i}$

$\forall x\in X$ ，则有（证明过程略）：

$<y,x-y>= ... =0\Rightarrow \left \| x \right \|^{2}=\left \| y \right \|^{2}+\left \| x-y \right \|^{2}$

因此有： $\left \| y \right \|^{2} \leq \left \| x \right \|^{2}$ ，即

$\sum_{i=1}^{n} \left |<x,e_{i}> \right |^{2} \leqslant \left \| x \right \|^{2}$

利用单调有界数列必有极限，得到：

$\sum_{i=1}^{\infty} \left |<x,e_{i}> \right |^{2} \leqslant \left \| x \right \|^{2}$

注意： $\sum_{i=1}^{\infty} \left |<x,e_{i}> \right |^{2}$ 收敛性比 $\sum_{i=1}^{\infty} <x,e_{i}> e_{i}$ 更强一点。可以证明，在 Hilbert 空间下二者收敛性相同，更一般地，有：

$\sum_{i\geq 1} <a_{i},e_{i}>$ 与 $\sum_{i\geq 1} \left | a_{i} \right |^{2}$ 收敛性相同。

2. 下面考虑一种特殊的内积空间，即 Hilbert 空间：

下面的无穷级数一定是收敛的：

$\sum_{i=1}^{\infty} <x,e_{i}> e_{i}$

如果为标准正交基（完全的标准正交集），则上式收敛到
如果为标准正交基，则Bessel不等式进一步表示为Parseval等式：

$\sum_{i=1}^{\infty} \left |<x,e_{i}> \right |^{2} = \left \| x \right \|^{2}$

3. 综上：Parseval等式是Bessel不等式在内积空间完备+标准完全正交集下的特例。

4.在傅里叶分析中的应用。

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