(三)证明不等式|(e-(1+1/n)^n)|<3/n

证明不等式 $$|e-(1+\frac{1}{n})^{n}|<\frac{3}{n}$$

证明：
由(二)证明数列{(1+1/n)^(n+1)}为递减数列可得

$$e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}=(1+\frac{1}{n})^{n}(1+\frac{1}{n})$$
可得 $$e-(1+\frac{1}{n})^{n}<\frac{1}{n}(1+\frac{1}{n})^{n}$$
只要证明 $$(1+\frac{1}{n})^{n}<3$$
当n=1时显然成立
当n>=2时，由于 $$(1+\frac{1}{n})^{n}=c_n^0+c_n^1\frac{1}{n}+c_n^2\frac{1}{n^2}+...+c_n^{k}\frac{1}{n^{k}}+...+c_n^{n}\frac{1}{n^{n}}$$
因为 $$c_n^{k}\frac{1}{n^{k}}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}·\frac{1}{n^k}$$
$$c_n^{k}\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{k!}·\frac{n}{n}·\frac{n-1}{n}·\frac{n-2}{n}...\frac{n-k+1}{n}<\frac{1}{k!}<=\frac{1}{2^{k-1}};(2<=k<=n)$$
所以 $$(1+\frac{1}{n})^{n}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^1}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}$$
$$(1+\frac{1}{n})^{n}<3-\frac{1}{2^{n-1}}<3$$
所以 $$|e-(1+\frac{1}{n})^{n}|<\frac{3}{n}$$