聚类

聚类指标

外部评价指标

Adjusted Rand Index(兰德指标)

$$RI=\frac{N_{C与C^*都是同类别的样本对数目}+N_{C与C^*都是不同类别的样本对数目}}{C_N^2(集合中的样本对数目)}$$

为使随机聚类结果的ARI接近0，提出调整兰德系数

$$ARI=\frac{RI-E(RI)}{max(RI)-E(RI)}$$

Adjusted Mutual Information(互信息)

信息熵：当随机变量Y的取值确定，即p(y_1)=1，p(y_{i \neq 1}=0)，熵为0。当随机变量的取值不确定，例如在N种取值上的均匀分布，$H(Y)=-\sum^N \frac{1}{N} log \ \frac{1}{N}=log \ N$

$$\begin{align} H(Y) & = -\sum_{y \in Y} p(y_i)log \ p(y_i)\\ & = -\sum_{y \in Y} \sum_{x \in X} p(y_i,x_i) log \ p(y_i)\\ & = -\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} p(y_i,x_i) log \ p(y_i)\\ \end{align}$$
条件熵：在给定条件X下，Y的分布的不确定性
$$\begin{align} H(Y|X) & = \sum_{x \in X} p(x)H(Y|X=x)\\ & = -\sum_{x \in X} p(x) \sum_{y \in Y} \frac{p(y_i,x_i)}{p(x_i)}log \ \frac{p(y_i,x_i)}{p(x_i)}\\ & = -\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} p(y_i,x_i) log \ \frac{p(y_i,x_i)}{p(x_i)}\\ \end{align}$$
聚类结果C和参考类别$C^*$之间的互信息定义为
$$\begin{align} MI(C,C^*) & = H(C)-H(C|C^*)\\ & =-\sum_{c^* \in C^*} \sum_{c \in C} p(c,c^*)log \ p(c)+\sum_{c^* \in C^*}\sum_{c \in C} p(c,c^*)log \frac{p(c,c^*)}{p(c^*)}\\ & =\sum_{c^* \in C^*}\sum_{c \in C} p(c,c^*)log \frac{p(c,c^*)}{p(c)p(c^*)}\\ & =\sum_{c \in C}\sum_{c^* \in C^*} p(c,c^*)log \frac{p(c,c^*)}{p(c)p(c^*)}\\ & =-\sum_{c \in C} \sum_{c^* \in C^*} p(c,c^*)log \ p(c^*)+\sum_{c^* \in C^*}\sum_{c \in C} p(c,c^*)log \frac{p(c,c^*)}{p(c)}\\ & =H(C^*)-H(C^*|C)\\ \end{align}$$
当$C$与$C^*$不相关，$H(C|C^*)=H(C)$,$MI(C,C^*)=0$。当对于给定$c^*$，随机变量$C$只取一类，此时$H(C|C^*)=0$，$MI(C,C^*)=H(C)$

同ARI相似，AMI定义为

$$AMI=\frac{MI-E(MI)}{max\{H(C),H(C^*) \}-E(MI)}$$
尽管由于$H(C|C^*) \geq 0$，$H(C^*|C) \geq 0$，因此
$$max(MI)=min \{H(C),H(C^*) \}$$
AMI的取值范围为[0,1]，对两种独立的聚类值为0，两种完全相同的聚类值为1。

homogeneity,completeness and V-measure

homogeneity(同质性)：一个簇只包含一个类别的样本

$$h=\frac{H(C^*)-H(C^*|C)}{H(C^*)}$$

$c_1^*$	$c_2^*$	sum
$c_1$	2
$c_2$	3
$c_3$		6
$c_4$	1
sum	6	6

$H(C^*)=log \ 2$，$H(C^*|C)=0$，$h=1$

$c_1^*$	$c_2^*$	sum
$c_1$	1	2
$c_2$	2	4
$c_3$	3	6
$c_4$	4	8
sum	10	20

$H(C^*)=\frac{1}{3}log \ 3+\frac{2}{3} log \ \frac{3}{2}$，$H(C^*|C)=\frac{1}{3}log \ 3+\frac{2}{3} log \ \frac{3}{2}$，$h=0$

completeness(完整性)：一个类别只在一个簇中

$$c=\frac{H(C)-H(C|C^*)}{H(C)}=\frac{MI(C,C^*)}{H(C)}$$

例如对于聚类结果

$c_1^*$	$c_2^*$	$c_3^*$	$c_4^*$	sum
$c_1$	1	3		2
$c_2$			6
sum	1	3	6	2

$H(C)=log \ 2$，$H(C|C^*)=0$，$c=1$

$c_1^*$	$c_2^*$	$c_3^*$	$c_4^*$	sum
$c_1$	1	2	3	4
$c_2$	2	4	6	8
sum	3	6	9	12

$H(C)=\frac{1}{3}log \ 3+\frac{2}{3} log \ \frac{3}{2}$，$H(C|C^*)=\frac{1}{3}log \ 3+\frac{2}{3} log \ \frac{3}{2}$，$c=0$

V-measure:均一性和完整性的调和平均

$$\frac{1}{v}=\frac{1}{2}(\frac{1}{h}+\frac{1}{c})$$

Fowlkes-Mallows score

$$\begin{align} 精度：& P=\frac{TP}{TP+FP}\\ 召回率：& R=\frac{TP}{TP+FN}\\ \end{align}$$

其中

• TP为在聚类结果中属于同一簇，在标签中也属于同一类的样本对数目
• FP为在聚类结果中不属于同一簇，在标签中属于同一簇的样本对数目
• FN为在聚类结果中属于同一簇，在标签中不属于同一簇的样本对数目

FMI 为精度和召回率的几何均值

$$FMI=\sqrt{P \times R}$$

内部评价指标

Silhouette coefficient:轮廓系数

一个样本的轮廓系数定义为：

$$s=\frac{b-a}{max \{ a,b \} }$$

• a:The mean distance between a sample and all other points in the same
  class.
• b:The mean distance between a sample and all other points in the next nearest cluster.

s接近1表示该样本匹配该类非常好，s接近-1表示该样本被聚类到相邻类中更合适，s接近0表示样本在两个类的交集处。

聚类的轮廓系数定义为所有样本轮廓系数的均值。$\bar{s}>0.5$表示聚类合适，$\bar{s}<0.2$表示数据不存在聚类特征

Calinski-Harabaz Index:离差平方和

类内散度

$$W(K)=\sum_{k=1}^K \sum_{C(j)=k}||x_j-\bar{x}_k||^2$$
类间散度
$$B(K)=\sum_{k=1}^K N_k||\bar{x}_k -\bar{x}||^2$$
其中$N_k$代表第$k$个簇的样本数目。

则CH索引为

$$CH=\frac{B(K)(N-K)}{W(K)(K-1)}$$
CH索引的优点在于计算快，它倾向于得到大小均匀的类。

吸引力传播

motivation

算法同时考虑所有样本点作为可能的聚类中心，可以看作是解决了如何选取$c_i$使得能量函数

$$E(c)=-\sum_{i=1}^N s(i,c_i)$$
最小的一个方法。其中$s(i,c_i)$是样本$i$与它的聚类中心的相似度（例如：负的欧氏距离）。该问题是NP-hard k-median problem，无法精确求解。

算法描述

输入是样本对之间的相似度矩阵$s$，“Real-valued messages”在样本之间被交换，直到算法收敛，合适的聚类中心被选出。其中“Real-valued messages”包括“responsibility”和“availability”：

• $r(i,k)$，是$i$传给$k$的，代表$i$有多想选$k$作为自己的代表(对样本$i$来说，$k$与自己最相似)
• $a(i,k)$，是$k$传给$i$的，代表$k$有多想让$i$选自己作为代表(有多少其它样本点想选$k$作为自己的代表)

对于样本$i$来说，如果样本$k$和自己很像，选它作为自己的代表；如果样本$k$和自己不那么像，但是很多别的样本都选它了，那么我也选它作为代表。那么样本$k$就是一个聚类中心了。

算法流程

1. 初始化$a(i,k)=0$
2. while 未达到最大迭代次数 or message的改变低于某个阈值 or 近几次（如10次）迭代中根据$r(i,k)+a(i,k)$确定的聚类中心不变
3. ​  for $k=\{1,2,\dots ,n \}- \{ k|s(k,k)<0\}$
4. ​   $r(i,k)=s(i,k)-max_{k'\ \neq k} \{ a(i,k')+s(i,k') \}$
5. ​   $a(i,k)=min \{ 0,r(k,k)+\sum_{i' \notin {i,k}} max \{0,r(i',k)\}\}$
6. ​   $a(k,k)=\sum_{i' \neq k} max \{ 0,r(i',k) \}$
7. ​  end
8. end
9. return $\{ k|a(k,k)+r(k,k)>0 \}$

10. 在第一次迭代的时候，因为$a(i,k)=0$，$r(i,k)=s(i,k)-max_{k' \neq k} s(i,k')$，$r(k,k)=s(k,k)-max_{k' \neq k} s(k,k')$。因此$s(k,k)$代表样本$k$作为聚类中心的合适程度，被成为“preference”。当preference选相似度矩阵的中值（s对角线上元素取值相同）时，会获得适当数目的簇；当preference选相似度矩阵的最小值时，会得到小数目的簇。

    在接下来的迭代中，某些不是聚类中心的点的$r(i,k)<0$，那么$a(i,k)<0$。不再考虑这些点作为可能的聚类中心来保证迭代算法的效率。

    为避免消息传递中的数值震荡，例如如果$s(1,2)=s(2,1)$，并且$s(1,1)=s(2,2)$，那么$c_1=c_2=1$和$c_1=c_2=2$会达到相同的能量，即选样本1还是样本2作为聚类中心都一样，因此会出现这次迭代选1作为聚类中心，下次迭代选2作为聚类中心的现象，从而可能导致算法无法收敛。于是引入阻尼因子（damping factor）：
    

    $$r_{t+1}(i,k)=\lambda \times r_t(i,k)+(1-\lambda)*r_{t+1}(i,k)\\ a_{t+1}(i,k)=\lambda \times a_t(i,k)+(1-\lambda)*a_{t+1}(i,k)$$
    也可以通过给相似度矩阵加入一点噪声来避免震荡。

    算法优势

    • 不同于K-means依赖于初始聚类中心的选择，只有当初始点离最优点足够近的时候，才能获得最佳结果，吸引力传播不需要初始聚类中心，尽管利用preference作为先验。
    • 相似度矩阵不必是对称的，相似性的度量也不需要满足三角不等式[i.e.,$s(i,k)<s(i,j)+s(j,k)$]，更适合解决实际中的某些问题。例如两个句子之间的相似度度量，从一个城市到另一个城市的交通便利程度的度量。