CRC算法学习

CRC 算法的基本思想是将传输的数据当做一个位数很长的数。将这个数除以另一个数。得到的余数作为校验数据附加到原数据后面。还以上面例子中的数据为例：

6、23、4 可以看做一个2进制数： 0000011000010111 00000010

假如被除数选9，二进制表示为：1001

则除法运算可以表示为：

可以看到，最后的余数为1。如果我们将这个余数作为校验和的话，传输的数据则是：6、23、4、1

CRC 算法和这个过程有点类似，不过采用的不是上面例子中的通常的这种除法。在CRC算法中，将二进制数据流作为多项式的系数，然后进行的是多项式的乘除法。还是举个例子吧。

比如说我们有两个二进制数，分别为：1101 和1011。

1101 与如下的多项式相联系：1x3+1x2+0x1+1x0=x3+x2+x0

1011与如下的多项式相联系：1x3+0x2+1x1+1x0=x3+x1+x0

两个多项式的乘法：(x3+x2+x0)(x3+x1+x0)=x6+x5+x4+x3+x3+x3+x2+x1+x0

得到结果后，合并同类项时采用模2运算。也就是说乘除法采用正常的多项式乘除法，而加减法都采用模2运算。所谓模2运算就是结果除以2后取余数。比如3 mod 2 = 1。因此，上面最终得到的多项式为：x6+x5+x4+x3+x2+x1+x0，对应的二进制数:111111

加减法采用模2运算后其实就成了一种运算了，就是我们通常所说的异或运算：

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0

0-0=0

1-0=1

0-1=1

1-1=0

上面说了半天多项式，其实就算是不引入多项式乘除法的概念也可以说明这些运算的特殊之处。只不过几乎所有讲解 CRC 算法的文献中都会提到多项式，因此这里也简单的写了一点基本的概念。不过总用这种多项式表示也很罗嗦，下面的讲解中将尽量采用更简洁的写法。

除法运算与上面给出的乘法概念类似，还是遇到加减的地方都用异或运算来代替。下面是一个例子：

要传输的数据为：1101011011

除数设为：10011

在计算前先将原始数据后面填上4个0：11010110110000，之所以要补0，后面再做解释。

从这个例子可以看出，采用了模2的加减法后，不需要考虑借位的问题，所以除法变简单了。最后得到的余数就是CRC 校验字。为了进行CRC运算，也就是这种特殊的除法运算，必须要指定个被除数，在CRC算法中，这个被除数有一个专有名称叫做“生成多项式”。生成多项式的选取是个很有难度的问题，如果选的不好，那么检出错误的概率就会低很多。好在这个问题已经被专家们研究了很长一段时间了，对于我们这些使用者来说，只要把现成的成果拿来用就行了。

最常用的几种生成多项式如下：

CRC8=X8+X5+X4+X0

CRC-CCITT=X16+X12+X5+X0

CRC16=X16+X15+X2+X0

CRC12=X12+X11+X3+X2+X0

CRC32=X32+X26+X23+X22+X16+X12+X11+X10+X8+X7+X5+X4+X2+X1+X0

有一点要特别注意，文献中提到的生成多项式经常会说到多项式的位宽（Width，简记为W），这个位宽不是多项式对应的二进制数的位数，而是位数减1。比如CRC8中用到的位宽为8的生成多项式，其实对应得二进制数有九位：100110001。另外一点，多项式表示和二进制表示都很繁琐，交流起来不方便，因此，文献中多用16进制简写法来表示，因为生成多项式的最高位肯定为1，最高位的位置由位宽可知，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如CRC32的生成多项式简记为04C11DB7实际上表示的是104C11DB7。当然，这样简记除了方便外，在编程计算时也有它的用处。

对于上面的例子，位宽为4（W=4），按照CRC算法的要求，计算前要在原始数据后填上W个0，也就是4个0。

位宽W=1的生成多项式(CRC1)有两种，分别是X1和X1+X0，读者可以自己证明10 对应的就是奇偶校验中的奇校验，而11对应则是偶校验。因此，写到这里我们知道了奇偶校验其实就是CRC校验的一种特例，这也是我要以奇偶校验作为开篇介绍的原因了。