codeforces 396A A. On Number of Decompositions into Multipliers(组合数学+数论)

最新推荐文章于 2024-09-28 09:20:52 发布

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本文介绍 CodeForces 396A 的解题思路，通过分解质因数并使用组合数学的方法，计算序列的积相同时不同序列的数量。给出 AC 代码实现。

题目链接：

codeforces 396A

题目大意：

给出n个数的序列，求取和这个序列的积相同但是序列本身不同的个数。

题目分析：

组合数学的问题，对于每一个数我们可以将它分解质因数，然后统计整个序列的各个质因数的个数。
那么符合要求的序列一定用这些质因数（每个质因数的个数保持不变）组成的，所以我们可以利用组合数学中的插板法，对每个质因数进行划分，划分给n个数（存在一些数没有分到的情况），那么就是 $C_{质因数个数+n-1}^{n-1}$ 。
根据乘法原则，总的方案数就是每个质因数的划分数之积。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <map>
#define MAX 30007

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef map<int,LL> MIL;
const LL mod = 1e9+7;
LL fac[MAX],recFac[MAX];
int n,a[MAX],mark[100007];
MIL mp;

LL inv ( LL num , LL x )
{
    LL ret = 1;
    while ( x )
    {
        if ( x&1 )
        {
            ret *= num;
            ret %= mod;
        }
        num *= num;
        num %= mod;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}

void init ( )
{
    fac[0] = 1;
    for ( LL i = 1 ; i < MAX ; i++ )
    {
        fac[i] = fac[i-1]*i;
        fac[i] %= mod;
        recFac[i] = inv ( fac[i] , mod-2 );
    }
    memset ( mark , 0 , sizeof ( mark ) );
    mark[1] = mark[0] = 1;
    for ( int i = 2 ; i*i < MAX; i++ )
    {
        if ( mark[i] ) continue;
        for ( int j =i*i ; j < MAX ; j += i )
            mark[j] = 1;
    }
}

void handle ( int num )
{
    for ( int i = 2 ; i*i <= num ; i++ )
    {
        if ( num%i ) continue;
        if ( mark[i] ) continue;
        while ( num%i == 0 )
        {
            num /= i;
            mp[i]++;
        }
    }
    if ( num > 1 ) mp[num]++;
}

LL C ( int n , int m )
{
    if ( m == 0 ) return 1;
    return fac[n]*recFac[n-m]%mod*recFac[m]%mod;
}

int main ( )
{
    init ( );
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) )
    {
        mp.clear();
        for ( int i = 0 ; i < n ; i++ )
        {
            scanf ( "%d" , &a[i] );
            handle ( a[i] );
        }
        LL ans = 1;
        MIL::iterator it = mp.begin();
        for ( ; it != mp.end() ; it++ )
        {
            int x = it->second;
            ans *= C ( x+n-1 , n-1 );
            ans %= mod;
        }
        printf ( "%lld\n" , ans );
    }
}