lucas定理

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Lucas 定理：A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  modp同

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds:

where

and

are the base p expansions of m and n respectively.

 

首先我们注意到 n=(ak...a2,a1,a0)p  =  (ak...a2,a1)p * p + a0

                                                       =  [n/p]*p+a0

                                                    且m=[m/p]+b0

 

只要我们更够证明 C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)  (mod p)

剩下的工作由归纳法即可完成

 

我们知道对任意质数p:   (1+x)^p  == 1+(x^p)  (mod p) 

注意!这里一定要是质数  ................(为什么)

 

对 模p 而言

 上式左右两边的x^m的系数对模p而言一定同余(为什么),其中左边的x^m的系数是 C(n,m) 而由于a0和b0都小于p

右边的x^m ( = x^(([m/p]*p)+b0)) 一定是由 x^([m/p]*p) 和 x^b0 相乘而得 (即发生于 i=[m/p] , j=b0 时) 因此我们就有了

 

C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)  (mod p) 

HDU 3037

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

基本的组合数学，C(N+M,M)然后对P取模

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1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. #include<ctime>  
4. #include<cstring>  
5. #include<cstdlib>  
6. #include<vector>  
7. #define C    240  
8. #define TIME 10  
9. #define LL long long  
10. using namespace std;  
11. LL PowMod(LL a,LL b,LL MOD){  
12.     LL ret=1;  
13.     while(b){  
14.         if(b&1) ret=(ret*a)%MOD;  
15.         a=(a*a)%MOD;  
16.         b>>=1;  
17.     }  
18.     return ret;  
19. }  
20. LL fac[100005];  
21. LL Get_Fact(LL p){  
22.     fac[0]=1;  
23.     for(int i=1;i<=p;i++)  
24.         fac[i]=(fac[i-1]*i)%p;  
25. }  
26. LL Lucas(LL n,LL m,LL p){  
27.     LL ret=1;  
28.     while(n&&m){  
29.         LL a=n%p,b=m%p;  
30.         if(a<b) return 0;  
31.         ret=(ret*fac[a]*PowMod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;  
32.         n/=p;  
33.         m/=p;  
34.     }  
35.     return ret;  
36. }  
37. int main(){  
38.     int t;  
39.     scanf("%d",&t);  
40.     while(t--){  
41.         LL n,m,p;  
42.         scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);  
43.         Get_Fact(p);  
44.         printf("%I64d\n",Lucas(n+m,m,p));  
45.     }  
46.     return 0;  
47. }  

HDU 4399 Xiao Ming's Hope

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4349

Lucas定理推广

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1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. #include<ctime>  
4. #include<cstring>  
5. #include<cstdlib>  
6. #include<vector>  
7. #define C    240  
8. #define TIME 10  
9. #define LL long long  
10. using namespace std;  
11. int main(){  
12.     int n;  
13.     while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
14.         int cnt=0;  
15.         while(n){  
16.             if(n&1)  
17.                cnt++;  
18.             n>>=1;  
19.         }  
20.         printf("%d\n",1<<cnt);  
21.     }  
22.     return 0;  
23. }