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最新推荐文章于 2024-09-27 13:44:28 发布

Allen Chi

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分类专栏：学习小记文章标签：投资学

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0.前言

$\quad\,\,\,\,$ 南开大学数学院投资学课程（本科生）笔记整理，不同于金融的投资学，此课程包含大量数学推导。第一部分包括关于投资组合的基础知识及现代投资组合理论（MPT） 的描述及模型推导。第二部分包括资本资产定价模型（CAPM）、套利定价理论（APT） 及资本市场线、证券市场线等概念及模型。

1.投资组合

资产
$\sum_{i=1}^n Z_i \tag{1}$
$*\quad Z$ ：总资产
$*\quad Z_i$ ：投资在证券i的资金
$\,$
投资策略集
$D=\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\,\bigg|\,\sum_{i=1}^n x_i=1\right\} \tag{2}$

其中
$x_i=\frac{Z_i}{Z} \tag{3}$
$*\quad x_i<0$ ：允许卖空
$*\quad x_i$ ：比例，权重

	证券1	证券2	$\dots$	证券k	$\dots$	证券n
收益率	$r_1$	$r_2$	$\dots$	$r_k$	$\cdots$	$r_n$
期望收益率	$E(r_1)$	$E(r_2)$	$\cdots$	$E(r_k)$	$\dots$	$E(r_n)$
标准差	$\sigma_1$	$\sigma_2$	$\cdots$	$\sigma_k$	$\dots$	$\sigma_n$
比例	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_k$	$\dots$	$x_n$

投资组合
$\,$
收益率
$r_P=\sum_{i=1}^n x_ir_i \tag{4}$
期望收益率
$E\left(r_P\right)=\sum_{i=1}^n x_i\cdot E\left(r_i\right) \tag{5}$
风险
$\begin{aligned} \sigma_P^2&=Cov\left(\sum_{i=1}^n x_ir_i,\,\sum_{i=1}^n x_ir_i\right)\\ &=\sum_{i}\sum_{j} x_ix_j\sigma_{ij}\\ &=\sum_{i} x_i^2\sigma_i^2+2\sum_{i}\sum_{j>i} x_ix_j\sigma_i\sigma_j \end{aligned} \tag{6}$
$\quad\sigma_{ij}=Cov\left(r_i,\,r_j\right)$
$\quad\sigma_{ii}=\sigma_i^2$

$L e t$

$\begin{aligned} \textbf{X}&=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)^T \\\,\\ \textbf{r}&=\left(r_1,r_2,\cdots,r_n\right)^T\\\,\\ \textbf{R}&=\left(E\left(r_1\right),E\left(r_2\right),\cdots,E\left(r_n\right)\right)^T\\\,\\ \textbf{e}&=\left(1,1,\cdots,1\right)^T\\\,\\ \textbf{V}&=\left(\sigma_{ij}\right)_{n\times n}= \begin{bmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12}&\cdots&\sigma_{1n}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}&\cdots&\sigma_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \sigma_{n1}&\sigma_{n2}&\cdots&\sigma_{nn}\\ \end{bmatrix}_{\,n\times n} \end{aligned} \tag{7}$
$*\quad\textbf V$ 为实对称正定矩阵

$H e n c e$

$\begin{aligned}\textbf{X}^T\textbf{r}&=r_P\\\,\\\textbf{X}^T\textbf{R}&=E\left(r_P\right)\\\,\\ \textbf{X}^T\textbf{e}&=1\\\,\\\textbf{X}^T\textbf{V}\textbf{X}&=\sigma_P^2\end{aligned} \tag{8}$
分散化作用

当n充分大时， $x_i\rightarrow\frac{1}{n}$

于是有
$\begin{aligned} \sigma_P^2 &=\sum_{i} x_i^2\sigma_i^2+2\sum_{i}\sum_{j>i} x_ix_j\sigma_i\sigma_j\\ &\rightarrow\frac{1}{n}\left(\frac{\sum\sigma_i^2}{n}\right)+2\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\sum\sum\sigma_{ij}}{\frac{n^2-n}{2}}\cdot\frac{n^2-n}{2} \end{aligned} \tag{9}$

我们称上式中的第一项为非系统性风险，第二项为系统性风险

可以看出，n充分大时，系统性风险逐渐趋于0，而非系统性风险趋于证券间的平均协方差

2.M-V模型

现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory）

假设：
i.收益的度量
ii.风险的度量
iii.理性
iv.市场无摩擦
v.证券无限可分

投资组合选择原则风险偏好（风险偏好）
- 理性选择原则
- 不满足性:
  投资者在其余条件相同的两个投资组合中进行选择时，总是选择预期回报率较高的组合。
- 厌恶风险:
  投资者在其余条件相同的情况下，将选择标准差较小的组合。
- 不同的风险态度
厌恶风险
风险中性
爱好风险

投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用取决于预期收益率与风险。预期收益率带来正的效用，风险带来负的效用。引入无差异曲线以反映效用水平，一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程度的预期收益率和风险的所有组合。
无差异曲线

特征：
i.无差异曲线的斜率为正；
ii.无差异曲线是向下凸的；
iii.同一投资者有无限多条无差异曲线；
iv.同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不能相交。

$*$ 注意：无差异曲线的斜率越大，投资者越厌恶风险。

投资效用函数（ $\textbf{U}$ ）
$U=U\left(\bar{R},\sigma\right) \tag{10}$

效用函数的形式多样，如
$U=\bar{R}-\frac{1}{2}A\sigma^2 \tag{11}$

其中， $A$ 表示投资者的风险厌恶系数，其典型值在 $2$ 至 $4$ 之间。
M-V模型描述

两证券组合P
$\begin{cases} \begin{aligned} r_P&=x_1r_1+x_2r_2\\ E\left(r_P\right)&=x_1E\left(r_1\right)+x_2E\left(r_2\right)\\ \sigma_P^2&=x_1^2\sigma_1^2+x_2^2\sigma_2^2+2x_1x_2\sigma_{12}\\ 1&=x_1+x_2\\ \end{aligned} \end{cases} \tag{12}$
消去 $x_1$ 、 $x_2$ ，得到以 $\sigma_P$ 、 $E\left(r_P\right)$ 为横、纵坐标的双曲线的一支：

对于多个证券，以 $\sigma_P$ 、 $E\left(r_P\right)$ 为横、纵坐标，所有投资组合为双曲线一支围成的部分：

可行集的数学表达为：

$G=\left\{\left(\sigma_P^2,E\left(r_P\right)\right)\left|\left\{\begin{aligned}E\left(r_P\right)&=\textbf X^T\textbf R\\\sigma_P^2&=\textbf X^T\textbf V\textbf X\end{aligned}\right.\right.,\textbf X\in D\right\} \tag{13}$
$\,$

其中投资组合的边界，成为最小方差组合（有效集）：
$\,$
$\partial G=\left\{\left(\sigma_P^2,E\left(r_P\right)\right)\left|\begin{aligned}&{\rm min}\,\sigma_P^2=\textbf X^T\textbf V\textbf X\\&\begin{cases}\textbf X^T\textbf R=\mu\\\textbf X^T\textbf e=1\\\end{cases}\end{aligned}\right.,\mu为参数\right\} \tag{14}$

全局最小方差组合 $\,(Global\,\,Minimum\,\,Variance\,\,Portfolio)\,$ 为曲线左顶点，简记为 $M V P$ 。
位于 $M V P$ 上方的曲线称为有效前沿 $\,(Efficient\,\,Frontier)\,$
数学推导

Problem:
$\begin{aligned}&{\rm min}\,\sigma_P^2=\textbf X^T\textbf V\textbf X\\&s.t.\,\begin{cases}\textbf X^T\textbf R=\mu\\\textbf X^T\textbf e=1\\\end{cases}\end{aligned} \tag{15}$
Solution:

$\quad Let$
$L=\textbf X^T\textbf V\textbf X-\lambda_1\left(\textbf X^T\textbf R-\mu\right)-\lambda_2\left(\textbf X^T\textbf e-1\right) \tag{16}$

$\quad Hence$
$\Longrightarrow\left\{\begin{aligned}&\frac{\partial L}{\partial\textbf X}=\left(\frac{\partial L}{\partial\textbf X_1},\cdots,\frac{\partial L}{\partial\textbf X_n}\right)^T=2\textbf V\textbf X-\lambda_1\textbf R-\lambda_2\textbf e=\textbf 0\\&\frac{\partial L}{\partial \lambda_1}=-\left(\textbf X^T\textbf R-\mu\right)=0\\&\frac{\partial L}{\partial \lambda_2}=-\left(\textbf X^T\textbf e-1\right)=0\end{aligned}\right. \tag{17}$

$\quad Thus$
$\textbf X=\frac{\lambda_1}{2}\textbf V^{-1}\textbf R+\frac{\lambda_2}{2}\textbf V^{-1}\textbf e \tag{18}$

$\quad Then\,\,we\,\,get$
$\left\{\begin{aligned} \frac{\lambda_1}{2}\textbf R^T\textbf V^{-1}\textbf R+\frac{\lambda_2}{2}\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf R&=\mu\\ \frac{\lambda_1}{2}\textbf R^T\textbf V^{-1}\textbf e\,\,+\,\frac{\lambda_2}{2}\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf e&=1\\ \end{aligned}\right. \tag{19}$

$\quad Let$
$\left\{\begin{aligned} A&=\textbf R^T\textbf V^{-1}\textbf R\\ B&=\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf R=\left(\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf R\right)^T=\textbf R^T\textbf V^{-1}\textbf e\\ C&=\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf e\\ D&=AC-B^2 \end{aligned}\right. \tag{20}$
$\quad\quad\textbf *\quad\left(\textbf V^{-1}\right)^T=\textbf V^{-1}$

$\quad(19)\Longrightarrow \left\{\begin{aligned} A\lambda_1+B\lambda_2&=2\mu\\ B\lambda_1+C\lambda_2&=2\\ \end{aligned}\right. \tag{21}$
$\,$
$\quad It's\,\,easy\,\,to\,\,find\,\,that\,\,matrix$
$\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix} \tag{22}$
$\quad is\,\,positive\,\,definite.\, Because$
$\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\left(x\textbf R+y\textbf e\right)^T\textbf V^{-1}\left(x\textbf R+y\textbf e\right) \tag{23}$
$\quad So\,\,the\,\,linear\,\,equation\,\,(21)\,\,has\,\,the\,\,only\,\,solution$
$\left\{\begin{aligned}\lambda_1&=\frac{2\mu C-2B}{D}\\\lambda_2&=\frac{2\mu B-2A}{D}\end{aligned}\right. \tag{24}$
$\quad Thus$
$\textbf X^*=\frac{\mu C-B}{D}\textbf V^{-1}\textbf R-\frac{\mu B-A}{D}\textbf V^{-1}\textbf e \tag{25}$

$\begin{aligned}\rm{min}\,\sigma_P^2&=\left(\textbf X^*\right)^T\textbf V\left(\textbf X^*\right)\\&=\left(\textbf X^*\right)^T\left[\frac{\mu C-B}{D}\textbf R-\frac{\mu B-A}{D}\textbf e\right]\\&=\frac{\mu C-B}{D}\mu-\frac{\mu B-A}{D}\end{aligned} \tag{26}$

$E\left(r_P\right)=\left(\textbf X^*\right)^T\textbf R=\mu \tag{27}$

$\,$
$\quad and$
$\sigma_P^2=\frac{E\left(r_P\right) C-B}{D}E\left(r_P\right)-\frac{E\left(r_P\right) B-A}{D} \tag{28}$

$\,$
$\quad We\,\,have$
$\dfrac{\sigma_P^2}{\frac{1}{C}}-\dfrac{\left(E\left(r_P\right)-\frac{B}{C}\right)^2}{\frac{D}{C^2}}=1 \tag{29}$

$\quad So\,\,we\,\,can\,\,conclude\,\,the\,\,coordinates\,\,of\,\,MVP\,\,are$
$\left(\frac{1}{\sqrt C},\,\frac{B}{C}\right)\tag{30}$
事实上，我们也可以利用二次规划对 $\,MVP\,$ 的坐标进行求解：

Problem:
$\begin{aligned}&{\rm min}\sigma_P^2=\textbf X^T\textbf V^{-1}\textbf X\\&s.t.\,\textbf X^T\textbf e=1\end{aligned}\tag{31}$

Solution:
$\quad Let$
$L=\textbf X^T\textbf V\textbf X-\lambda\left(\textbf X^T\textbf e-1\right)\tag{32}$
$\quad Hence$
$\Longrightarrow\left\{\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial\textbf X}&=\left(\frac{\partial L}{\partial\textbf X_1},\cdots,\frac{\partial L}{\partial\textbf X_n}\right)^T=2\textbf V\textbf X-\lambda\textbf e=\textbf 0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}&=-\left(\textbf X^T\textbf e-1\right)=0\end{aligned}\right.\tag{33}$
$\quad Thus$
$\textbf X=\frac{\lambda}{2}\textbf V^{-1}\textbf e\tag{34}$
$\quad It\,\,follows\,\,from\,\,\left(33\right)\,\,that$
$\textbf X^T\textbf e=\frac{\lambda}{2}\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf e=\frac{\lambda}{2}C=1$
$\quad Thus$
$\textbf X^*=\frac{\lambda}{2}\textbf V^{-1}\textbf e=\frac{\textbf V^{-1}\textbf e}{C}\tag{35}$

$\begin{aligned}{\rm min}\,\sigma_P^2&=\left(\textbf X^*\right)^T\textbf V\left(\textbf X\right)\\&=\frac 1C\left(\textbf X^*\right)^T\textbf e=\frac 1C\end{aligned}\tag{36}$

$E\left(r_P\right)=\left(\textbf X^*\right)^T\textbf R=\frac{\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf R}{C}=\frac BC\tag{37}$
$\quad So\,\,we\,\,can\,\,conclude\,\,the\,\,coordinates\,\,of\,\,MVP\,\,are$
$\left(\frac{1}{\sqrt C},\,\frac{B}{C}\right)$
存在无风险证券的情况

无风险证券收益率为 $r_f$ ，满足：
$\sigma_f^2=0$

$E\left(r_f\right)=r_f$

记无风险证券投资比例为 $x_0$ ，此时二次规划问题转化为：

Problem:
$\begin{aligned}&{\rm min}\,\sigma_P^2=\textbf X^T\textbf V\textbf X\\&s.t.\,\begin{cases}x_0r_f+\textbf X^T\textbf R=\mu\\x_0+\textbf X^T\textbf e=1\\\end{cases}\end{aligned} \tag{38}$

Solution:

$\left(38\right)\,\Longrightarrow\,\textbf X^T\left(\textbf R-\textbf er_f\right)=\left(\mu-r_f\right)\tag{39}$

$\quad Let$
$L=\textbf X^T\textbf V\textbf X-\lambda\left[\textbf X^T\left(\textbf R-\textbf er_f\right)-\left(\mu-r_f\right)\right] \tag{40}$

$\quad Hence$
$\Longrightarrow\left\{\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial\textbf X}&=\left(\frac{\partial L}{\partial\textbf X_1},\cdots,\frac{\partial L}{\partial\textbf X_n}\right)^T=2\textbf V\textbf X-\lambda\left(\textbf R-\textbf er_f\right)=\textbf 0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}&=-\left[\textbf X^T\left(\textbf R-\textbf er_f\right)-\left(\mu-r_f\right)\right]=0\end{aligned}\right.\tag{41}$

$\quad Thus$
$\textbf X=\frac{\lambda}{2}\textbf V^{-1}\left(\textbf R-\textbf er_f\right)\tag{42}$

$\quad It\,\,follows\,\,from\,\,\left(39\right)\,\,that$
$\textbf X^T\left(\textbf R-\textbf er_f\right)=\frac{\lambda}{2}\left(\textbf R-\textbf er_f\right)^T\textbf V^{-1}\left(\textbf R-\textbf er_f\right)=\left(\mu-r_f\right)\tag{43}$

$\quad Let$
$H=\left(\textbf R-\textbf er_f\right)^T\textbf V^{-1}\left(\textbf R-\textbf er_f\right)>0\tag{44}$

$\quad Thus$
$\begin{aligned}\textbf X^*&=\frac{\lambda}{2}\textbf V^{-1}\left(\textbf R-\textbf er_f\right)\\&=\frac{\mu-r_f}H\textbf V^{-1}\left(\textbf R-\textbf er_f\right)\end{aligned}\tag{45}$

$\begin{aligned}\rm{min}\,\sigma_P^2&=\left(\textbf X^*\right)^T\textbf V\left(\textbf X^*\right)\\&=\frac{\mu-r_f}H\left(\textbf X^*\right)^T\left(\textbf R-\textbf er_f\right)\\&=\frac{\left(\mu-r_f\right)^2}H\end{aligned} \tag{46}$

$E\left(r_P\right)=\mu \tag{47}$

$\,$
$\quad We\,\,have$
$\sigma_P=\pm\frac{E\left(r_P\right)-r_f}{\sqrt H}\tag{48}$

可以看出，再加入无风险证券后，最小方差组合由双曲线的一支变为一条折线，其顶点坐标位为 $y$ 轴上的点 $\left(0,\,r_f\right)$ ，位于顶点上方的射线为有效前沿。
$\,$
两个最小方差组合的联系
$\quad$
由 $\,\left(29\right)\,$ 及 $\,\left(48\right)\,$ 可知：

$\dfrac{\sigma_P^2}{\frac{1}{C}}-\dfrac{\left(E\left(r_P\right)-\frac{B}{C}\right)^2}{\frac{D}{C^2}}=\frac{\frac{\left[E\left(r_P\right)-r_f\right]^2}H}{\frac{1}{C}}-\dfrac{\left(E\left(r_P\right)-\frac{B}{C}\right)^2}{\frac{D}{C^2}}=1 \tag{49}$

其中，由 $\,\left(44\right)$ ：
$\begin{aligned}H&=\left(\textbf R-\textbf er_f\right)^T\textbf V^{-1}\left(\textbf R-\textbf er_f\right)\\&=\textbf R^T\textbf V^{-1}\textbf R-r_f\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf R-r_f\textbf R^T\textbf V^{-1}\textbf e+r_f^2\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf e\\&=A-r_fB-r_fB+r_f^2C\\&=A+r_f^2C-2r_fB\end{aligned}\tag{50}$

及 $\,\left(20\right)$ ：
$D=AC-B^2$
代入 $\,\left(49\right)$ 得：
$\frac{\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)^2}{\frac AC+r_f^2-2r_f\frac BC}-\dfrac{\left(E\left(r_P\right)-\frac{B}{C}\right)^2}{\frac AC-\frac{B^2}{C^2}}=1$
整理得：
$\left[\left(E\left(r_P\right)-\frac BC\right)\left(r_f-\frac BC\right)+\frac D{C^2}\right]^2=0\tag{51}$

$a)\,r_f=\frac BC\,$ 时，方程 $\,\left(51\right)\,$ 无解，说明此时两条曲线不交，这时容易验证曲线 $\,\left(48\right)\,$ 恰为曲线 $\,\left(29\right)\,$ 的两条渐近线。
$\,$
$b)\,r_f\ne\frac BC\,$ 时，方程 $\,\left(51\right)\,$ 有重根：
$\begin{aligned}E\left(r_P\right)&=\frac BC+\frac{\frac D{C^2}}{\frac BC-r_f}\\&=\frac{A-Br_f}{B-Cr_f}\end{aligned}\tag{52}$
$\quad$ 说明此时两条曲线相切。
$\,$
$\quad r_f<\frac BC\,$ 时，曲线 $\,\left(48\right)\,$ 的上半部分与曲线 $\,\left(29\right)\,$ 的上半部分相切，如图：

$\quad r_f>\frac BC\,$ 时，曲线 $\,\left(48\right)\,$ 的下半部分与曲线 $\,\left(29\right)\,$ 的下半部分相切。

实际情况下，无风险收益 $ThinSpace; \,r_f\,$ 一般低于 $\,MVP\,$ 的收益，我们只需要考虑上述情况中 $\,r_f<\frac BC\,$ 的情况即可。

我们称切线为资本市场线 $\,\left(Capital\,\,Market\,\,Line\,,CML\right)\,$ ，切点 $\,P\,$ 为最优风险资产组合 $\,\left(Optimal\,\,Risky\,\,Portfolio\right).$
事实上，在已知其相切的条件下，我们还可以利用二次规划对切点 $\,P\,$ 的坐标进行求解：

Problem:
${\rm min}\frac{E\left(r_P\right)-r_f}{\sigma_P}\\s.t.\,\textbf X^T\textbf e=1\tag{53}$
$\quad for$
$E\left(r_P\right)=\textbf X^T\textbf R$
$\quad and$

$\sigma_P=\sqrt{\textbf X^T\textbf{V}\textbf{X}}$

Solution:

$\quad Let$
$L=\frac{E\left(r_P\right)-r_f}{\sigma_P}-\lambda\left(\textbf X^T\textbf e-1\right)\tag{54}$

$\quad Hence$
$\Longrightarrow\,\begin{cases}\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial\textbf X}&=\left(\frac{\partial L}{\partial X_1},\cdots,\frac{\partial L}{\partial X_n}\right)^T\\&=\frac{\frac{\partial}{\partial\textbf X}E\left(r_P\right)\cdot\sigma_P-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\cdot\frac{\partial}{\partial\textbf X}\sigma_P}{\sigma_P^2}-\lambda\textbf e\\&=\frac{\textbf R\sqrt{\textbf X^T\textbf V\textbf X}-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\frac{\textbf V\textbf X}{\sqrt{\textbf X^T\textbf V\textbf X}}}{\sigma_P^2}-\lambda \textbf e\\&=\frac{\sigma_P\,\textbf R-\frac {E\left(r_P\right)-r_f}{\sigma_P}\,\textbf V\textbf X}{\sigma_P^2}-\lambda \textbf e\\&=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}&=-\left(\textbf X^T\textbf e-1\right)=0\end{aligned}\end{cases}$
$\quad Thus$
$\Longrightarrow\,\begin{cases}\sigma_P^2\,\textbf R-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\textbf {VX}-\lambda\sigma_P^3\,\textbf e=0\\\textbf X^T\textbf e-1=0\end{cases}\tag{55}$

$\quad a)$
$\begin{aligned}\quad\Longrightarrow&\textbf X^T\left[\sigma_P^2\,\textbf R-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\textbf {VX}-\lambda\sigma_P^3\,\textbf e\right]\\=&\sigma_P^2\,\textbf X^T\textbf R-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\textbf X^T\textbf {VX}-\lambda\sigma_P^3\,\textbf X^T\textbf e\\=&\sigma_P^2\,E\left(r_P\right)-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\sigma_P^2-\lambda\sigma_P^3\\=&0\end{aligned}$
$\quad\quad that\,\,is$
$r_f=\lambda\,\sigma_P\tag{56}$

$\quad b)$
$\begin{aligned}\quad\Longrightarrow&\textbf R^T\textbf V^{-1}\left[\sigma_P^2\,\textbf R-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\textbf {VX}-\lambda\sigma_P^3\,\textbf e\right]\\=&\sigma_P^2\,\textbf R^T\textbf V^{-1}\textbf R-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\textbf R^T\textbf X-\lambda \sigma_P^3\,\textbf R^T \textbf V^{-1}\textbf e\\=&A\,\sigma_P^2-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)E\left(r_P\right)-\lambda\,B\sigma_P^3\\=&0\end{aligned}$
$\quad\quad that\,\,is$
$\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)E\left(r_P\right)=\sigma_P^2\left(A-\lambda\,B\sigma_P\right)\tag{57}$
$\quad c)$
$\begin{aligned}\Longrightarrow&\textbf e^T\textbf V^{-1}\left[\sigma_P^2\,\textbf R-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\textbf{VX}-\lambda\sigma_P^3\,\textbf e\right]\\=&\sigma_P^2\,\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf R-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)\textbf e^T\textbf X-\lambda\sigma_P^3\,\textbf e^T\textbf V^{-1}\textbf e\\=&B\,\sigma_P^2-\left(E\left(r_P\right)-r_f\right)-\lambda\,C\sigma_P^3\\=&0\end{aligned}$
$\quad\quad that\,\,is$
$E\left(r_P\right)-r_f=\sigma_P^2\left(B-\lambda\,C\sigma_P\right)\tag{58}$
$\quad From\,(56)\sim(58)\,we\,\,know$
$\frac{E\left(r_P\right)}{A-\lambda\,B\sigma_P}=\frac{\sigma_P^2}{E\left(r_P\right)-r_f}=\frac{1}{B-\lambda\,C\sigma_P}$

$\begin{aligned}\Longrightarrow\,E\left(r_P\right)&=\frac{A-B\left(\lambda\sigma_P\right)}{B-C\left(\lambda\sigma_P\right)}\\&=\frac{A-Br_f}{B-Cr_f}\end{aligned}\tag{59}$
$It\,\,follows\,\,from\,\,\left(50\right),\,\left(58\right)\,\,\&\,\,\left(59\right)\,\,that$
$\begin{aligned}\sigma_P^2&=\frac{E\left(r_P\right)-r_f}{B-\lambda\,C\sigma_P}=\frac {E\left(r_P\right)-r_f}{B-Cr_f}\\&=\frac{\frac{A-Br_f}{B-Cr_f}-r_f}{B-Cr_f}=\frac{A+r_f^2C-2r_fB}{\left(B-Cr_f\right)^2}\\&=\frac{H}{\left(B-Cr_f\right)^2}\end{aligned}\tag{60}$
$So\,\,we\,\,can\,\,conclude\,\,the\,\,coordinates\,\,of\,\,P\,\,are$
$\left(\frac{A-Br_f}{B-Cr_f},\,\frac{\sqrt{H}}{B-Cr_f}\right)\tag{61}$