轻松明白-DP（动态规划）入门-优快云博客

一、动态规划解决什么问题

将复杂问题分解为子问题，子问题会多次重复出现，存储子问题结果以避免重复计算的优化方法。

二、从斐波那契额数列开始

斐波那契数列是指这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

可以记作：

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 2）

需求：写一个函数 Fib(n) 返回第 n 个斐波那契数。

1.1 暴力计算

比如算F(5)需要计算F(4...0)。

算F(4)的时候计算F(3...0)。

算F(3)的时候计算F(2...0)。

算F(2)的时候需要计算F(1)+F(0).

其中有大量的过程被重复了，比如算F(5)的所有过程中F(3)就同时被F(5)和F(4)需求了。

下面是暴力算法，完全按照斐波那契的计算公式来写：

using System;

class Program
{
    static int FibNaive(int n)
    {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;

        // 完全照公式写：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
        return FibNaive(n - 1) + FibNaive(n - 2);
    }

    static void Main()
    {
        Console.WriteLine(FibNaive(10));
    }
}

1.2 优化

我们会发现Fib(0)、Fib(1)...Fib(n-1)每一个结果都会被多次的使用，如果我们将Fib(x)的计算结果存储在一个数据结构中，如果有就从这个数据结构中拿，就会减少调用Fib。比如：

using System;

class Program
{
    static int[] memo;

    static int FibMemo(int n)
    {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;

        if (memo[n] != -1)  // 之前算过了，直接用
            return memo[n];

        memo[n] = FibMemo(n - 1) + FibMemo(n - 2);
        return memo[n];
    }

    static void Main()
    {
        int n = 40;
        memo = new int[n + 1];

        // 用 -1 表示“还没计算过”
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            memo[i] = -1;

        Console.WriteLine(FibMemo(n));
    }
}

我们从参数N开始递归一直递归到N=2，称之为从上到下。过程中我们使用了一个int[] memo数组来存储Fib(x)的结果，如果再次遇到就直接从数组拿。即memo[i] 表示 F(i) 的值。

当然我们也可以从下到上，即从下标2开始计算到N：

using System;

class Program
{
    static long FibDP(int n)
    {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;

        long[] dp = new long[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

        return dp[n];
    }

    static void Main()
    {
        int n = 50;
        Console.WriteLine(FibDP(n));
    }
}

我们发现，当long[] dp填满的时候，dp[n]就是结果。