【leetcode】：leetcode 69 Sqrt(x) 牛顿迭代法

这个题是求x的平方根，这里介绍一种方法叫做牛顿迭代法

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。 

 


       既然牛顿迭代法可以用来求解方程的根，那么不妨以方程 x2=n 为例，来试着求解它的根。为此。令f(x)=x2−n， 也就是相当于求解 f(x)=0 的解，如上图所示。 


       首先随便找一个初始值 x0，如果 x0不是解，做一个经过 (x0,f(x0)) 这个点的切线，与x轴的交点为x1。同样的道理，如果 x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。 以此类推。以这样的方式得到的xi会无限趋近于 f(x)=0 的解。 


判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法： 一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi−1是否无限接近。 


经过(xi,f(xi))这个点的切线方程为

f(x)=f(xi)+f′(xi)(x−xi)

其中，f′(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于 0，即可求出

xi+1=xi−f(xi)f′(xi)

继续化简 

xi+1=xi−x2i−n2xi=xi−xi2+n2xi=xi2+n2xi

基于上述迭代公式，我们其实给出了一个求平方根的算法。事实上，这也的确是很多语言中内置的开平方函数的实现方法。 

然后基于上面的公式推导，我们得到了通过上个点推下个点的递推公式为：

xi+1=xi−x2i−n2xi=xi−xi2+n2xi=xi2+n2xi

因此，我们判定这两个点距离小于0.0001时，我们就可以认为这两个点重合了

给出AC代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;
        double pre,cur = 1;
        do{
            pre = cur;
            cur = x/(2*pre) + pre/2.0; 
        }while(abs(cur-pre)>0.00001);
         return (int)cur;
    }
};

然后谢谢各位收看