[EE261学习笔记] 2.傅里叶级数的意义

首先我们将矢量的“内积”或称“点积”的概念以类比的方式推广到复变函数
设函数 $f$、$g$ 在 $[0,1]$ 内平方可积，则我们定义函数 $f$、$g$ 的内积为：

$$(f,g)={\int }_0^{1}f(t)\overline{g(t)}dt\text{\hspace{1em}(1)}$$

在矢量运算中，我们有：
1.矢量长度 $\left|\mathbf{v}\right|=\sqrt{{\mathbf{v}}^2}=\sqrt{(\mathbf{v},\mathbf{v})}$
2.勾股定理，当且仅当 ${\left|\mathbf{v}+\mathbf{u}\right|}^2={\left|\mathbf{v}\right|}^2+{\left|\mathbf{u}\right|}^2$ 时，即 $(\mathbf{v},\mathbf{u})=0$ 时，矢量 $\mathbf{v}$、$\mathbf{u}$ 正交

类比于矢量内积，再利用函数内积公式 $(1)$，我们可以得到：
1.函数长度的平方 ${\Vert f\Vert }^2=(f,f)={\int }_0^1{\left|f(t)\right|}^{2}dt$
2.当且仅当 ${\Vert f+g\Vert }^2={\Vert f\Vert }^2+{\Vert g\Vert }^2$，即 $(f,g)=0$ 时，函数 $f$、$g$ 正交

我们回忆一下周期为1的周期函数的傅里叶级数

$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中

$$\hat{f}(k)={\int }_0^{1}f(t)e^{-2\pi ikt}dt\text{\hspace{1em}(3)}$$

利用 $(1)$ 式及上述函数正交性及函数长度的定义，容易得到：

$$\begin{array}{rl}(e^{2\pi int},e^{2\pi imt})& ={\int }_0^1{e}^{2\pi int}{e}^{-2\pi imt}dt\\ & ={\int }_0^1{e}^{2\pi i(n-m)t}dt\\ & =\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m\text{ （正交）}\\ 1,& n=m\text{ （模长的平方为1）}\end{array}\end{array}$$

这个计算结果表明：

1. 在复平面上的傅里叶级数的表达式中，{e2πikt}均正交，其中k∈(−∞,∞)(4)\text{在复平面上的傅里叶级数的表达式中，}\lbrace e^{2\pi ikt}\rbrace \text{均正交，其中}k\in (-\infty, \infty) \tag4在复平面上的傅里叶级数的表达式中，{e2πikt}均正交，其中k∈(−∞,∞)(4)

2. {e2πikt}中的各项模长均为1，其中k∈(−∞,∞)(5)\lbrace e^{2\pi ikt}\rbrace \text{中的各项模长均为1，其中}k\in (-\infty, \infty) \tag5{e2πikt}中的各项模长均为1，其中k∈(−∞,∞)(5)

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我们再次回到矢量上来，假设我们有矢量 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的内积 $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ 在几何中的意义是 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影长度乘以 $\mathbf{b}$ 的长度(或 $\mathbf{a}\mathbf{b}$ 位置互换)

当 $\mathbf{b}$ 为单位向量（或称为基）时，$(\mathbf{a},\mathbf{b})$ 可以看作 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影，或者说是矢量 $\mathbf{a}$ 在基 $\mathbf{b}$ 方向上的分量
比如，我们设 $\mathbf{v}$、$\mathbf{u}$ 为互相垂直的一对单位向量，则 $(\mathbf{a},\mathbf{v})$、$(\mathbf{a},\mathbf{u})$ 分别为 $\mathbf{v}$ 方向和 $\mathbf{u}$ 方向上的分量。在物理上，这种方法也称为矢量的正交分解。因此我们可以将 $\mathbf{a}$ 写作

$$\mathbf{a}=(\mathbf{a},\mathbf{v})\mathbf{v}+(\mathbf{a},\mathbf{u})\mathbf{u}\text{\hspace{1em}(6)}$$

接下来我们利用(1)式计算以下内积：

$$\begin{array}{rl}(f,e^{2\pi ikt})& ={\int }_0^{1}f(t)\overline{e^{2\pi ikt}}dt\\ & ={\int }_0^{1}f(t)e^{-2\pi ikt}dt\\ & =\hat{f}(k)\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

由 $(5)$ 式我们知道 $e^{-2\pi ikt}$ 的模长为1。类比矢量投影的性质，我们不难从上式看出：第 $k$ 项傅里叶系数，就是函数对于第 $k$ 项复指数的投影
运用 $(7)$ 式，我们将傅里叶级数即 $(2)$ 式改写可得：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}\\ & =\sum _{k=-\infty }^{\infty }(f,e^{2\pi ikt})e^{2\pi ikt}\end{array}$$

联系性质 $(4)$、$(5)$ 以及矢量的分量表达式 $(6)$，我们发现上式可以理解为 $f(t)$ 在基 {e2πikt}\{e^{2\pi ikt}\}{e2πikt} 上的投影，再乘以基。

因此，傅里叶级数的一种解释方式是：将周期函数 $f(t)$ 投影到正交基组 {e2πikt}\{e^{2\pi ikt}\}{e2πikt} 上，再用这些分量重新写出 $f(t)$

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最后，我们再证明一个重要的等式：瑞利等式
利用傅里叶级数式 $(2)$

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\left|f(t)\right|}^{2}dt& =\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\int }_0^1{\left|\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}\right|}^{2}dt\\ & =\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\int }_0^1{\left|\hat{f}(k)\right|}^2{\left|e^{2\pi ikt}\right|}^{2}dt\\ & =\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|\hat{f}(k)\right|}^2{\int }_0^1{\left|e^{2\pi ikt}\right|}^{2}dt\\ & =\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|\hat{f}(k)\right|}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

$(8)$ 式表明了一个函数的长度的平方，与它的正交组成成分的平方和相等，这也是矢量的瑞利等式的扩展。
在工程中，我们常把 $(8)$ 式的等式左边部分称为函数的能量，因此有了傅里叶级数，我们既可以在时域计算能量，也可以在频域计算能量。