离散数学之不可分者同一性原理

引子

阅读一种评价机制相关的论文中所涉及的名词——不可分者同一性原理（identity of indiscernibles），并且这一原理是这类评价标准的要素之一。后来发现是离散数学中的一条概念，并且起源于哲学（逻辑学）语境，还是蛮值得了解的。本blog首先将从哲学与数学的角度浅显易懂地解释一下这个概念，接着会说明这一原理对于评价标准有什么样的意义。

哲学层面

我们姑且称不可分者同一性原理(identity of indiscernibles) 为 原理A，用以和后面会提到的其他原理区分开。原理A是从哲学或者说逻辑学中产生的概念，源自于存在论的一条原理（存在论是一种研究存在和现实等本身的一类哲学分支）。在这样的语境下，原理A可以这样解释：如果两个实体或者客体有完全相同的性质，那么它们必然是不可区分的。所谓两个事物不可区分，就是指两个名字下指的是同一个事物。原理A具有一定的形而上学的特征，而非自然科学的。其逆命题——同一者不可分性原理，则显得更加贴近我们的常规认知，这里我们姑且称这个逆命题为原理B。

原理B相对原理A更加“出名”一些，因为原理B和德国哲学家莱布尼茨有关（就是和牛顿同时开发微积分的数学哲学家），所以原理B和原理A也被称为莱布尼茨法则。原理B可以描述为，如果两个实体或者客体是不可区分的，即指代同一个事物，那么它们的本质将完全相同。显然，原理B描述远比原理A要更容易被人所接受。

数学层面

原理A与原理B均可以用数学符号进行表达，二者均满足对称性和传递性。

• 原理A：
  对于任意的$x$与$y$，如果$x$与$y$等同，那么$x$与$y$的所有性质相同。
  $$\forall x,\forall y[x=y\to \forall F(Fx\leftrightarrow Fy)]$$
• 原理B：
  对于任意的$x$与$y$，如果$x$与$y$的所有性质相同，那么$x$与$y$等同。
  $$\forall x,\forall y[\forall F(Fx\leftrightarrow Fy)\to x=y]$$

原理B通常被认为是逻辑真理，是没有争议的。但原理A有时会被认为存在争议的，最有名的反驳批判是Max Black的对称宇宙反驳（在一个对称宇宙里 只有两个对称的球存在，这两个球哪怕所有性质都相同，也是可以区分的。）但笔者认为这一讨论其实超越了很多应用这一原理的现实情况，至少在讨论计算机视觉某一任务的评价标准的时候，谈对称宇宙不禁让人感觉有些“出戏”（当然我们也确实不能放弃这样的思维角度，说不定计算机视觉问题和宇宙学也存在关联。）。所以，一般来说两个原理都应该是被认可的。

评价指标要素之一

要讨论这个问题首先就要明确“评价指标的意义是什么？”。评价指标虽然是对各种不同算法提供的一种比较依据，但究其本质是用来将不同的算法区分开的。说白了，就是证明这两个算法是不同的，这是数据层面上的区分，而不是通过直观感受上的区分。这里就可以用到原理A所描述的内容，举一个例子：在满足原理A的评价指标M下，如果检测器D1和检测器D2的所有构成评价指标M的量是客观上相同的，那么D1和D2就是同一个检测器。这就是评价指标应用这一原理的意义：构建一种可以将不同算法区分开的计算方法，如果再能提供一种分数评价，那这个评价指标基本就成型了。反过来说，一个好的评价指标必须具备原理A所描述的性质才行。