RNN训练与BP算法

摘要：

本文主要讲述的RNN（循环神经网络）在训练过程中BP算法的推导。
在阅读本文之前希望读者看过我的另一篇文章BP算法心得体会。因为大部分的思路沿用的就是这篇文章的思路。
参考文章：
数学推导-1
数学推导-2

更新-2018-01-23：
之前写完这篇文章之后，回头看了一遍文章，发现在整个推导的过程都无视了时间维度的存在，所以后来查阅了相关的资料，发现目前网上有一部分RNN的推导过程和本文是一样的，比如上面给到的2篇参考文章，思路和本文是一致的。但是也存在另外一些版本的推导，其过程和本文的截然不同。
所以后来在参考了大神的代码后，重新思考了rnn的训练算法，因此重新写一个篇rnn和bptt供大家参考。

正文

RNN的一般原理介绍这里就不再重复了，本文关注的是RNN是如何利用BP算法来进行训练的。

推导

在推导BP算法之前，我们先做一些变量上的规定，这一步非常关键。
本文使用的RNN是只含一个隐藏层（多个隐藏层其实也是一样的道理）。其结构如下图所示：

（大家看到这个网络结构可能有些困惑，比如说，RNN是由多个网络组成的吗？这里值得注意的是，RNN就只由一个网络组成，图上有多个网络是在不同时刻的输入下的网络情况）
现在，作如下的一些规定：
$v_{im}$是输入层第$m$个输入与隐藏层中第$i$个神经元所连接的权重。
$u_{in}$是隐层自循环的权重（具体表现为上面结构图中那些紫色、绿色的线）
$w_{km}$是隐藏层中第m个神经元与输出层第k个神经元连接的权重。
网络中共有$N_{(i)}个输入单元$，$N_{(h)}个隐藏层$，$N_{(o)}个输出单元$

$net_{hi}^{t}$表示隐藏层第$i$个神经元在$t$时刻激活前的输入。
具体为：$net_{hi}^{t}=\sum_{m=1}^{N_{(i)}}(v_{im}x_m^{t})+\sum_{s=1}^{N_{(h)}}(u_{is}h_s^{t-1})$
经过激活后的输出为：$h_i^{t}=f(net_{hi}^{t})$

$net_{yk}^{t}$表示输出层第$k$个神经元在$t$时刻激活前的输入。
具体为：$net_{yk}^{t}=\sum_{m=1}^{N_{(h)}}(w_{km}h_m^{t})$
经过激活后的输出为：$o_k^{t}=f(net_{yk}^{t})$

这里同样地，为了方便推导，假设损失函数$E_t =0.5*\sum_{k=1}^{N(o)}(o_k^{t}-t_k^{t})^2$（本文也会说明使用其他损失函数的情况）
$E=\sum_{t=1}^{step}E_t$
首先我们需要解决的问题就是求出：
$\left.\frac{\partial E}{\partial u_{in}}\right.$，$\left.\frac{\partial E}{\partial w_{km}}\right.$，$\left.\frac{\partial E}{\partial v_{im}}\right.$。

1.先来求最简单的$\left.\frac{\partial E}{\partial w_{km}}\right.$：
和之前讲解BP的文章套路一样，我们可以对$\left.\frac{\partial E}{\partial w_{km}}\right.$使用链式法则，具体如下：
∂E∂wkm=∂E∂nettyk∗∂nettyk∂wkm