公共子序列

	【训练题】公共子序列
	时间限制：1秒  内存限制：64M

【问题描述】             【输入格式】     　　有两行，每一行为一个大写字母构成的长度不超过200的字符串，表示序列X和Y。         【输出格式】     　　第一行为一个非负正整数，表示所求得的最长公共子序列的长度。         【输入样例】     ABCBDAB BDCABA         【输出样例】     4

 

 

 

这是一道经典而又基础的区间动规题目。

看到题目，我们可以轻易的想到，如果Ａ串的前ｉ个与Ｂ串的前ｊ个元素的最长公共子序列长度为ｘ，又如果Ａ［ｉ＋１］＝Ｂ［ｊ＋１］，那么Ａ串的前ｉ＋１个与Ｂ串的前ｊ＋１个元素的最长公共子序列长度就为ｘ＋１；

那么状态转移方程的一部分就显而易见了　ｆ（ｉ，ｊ）＝ｆ（ｉ－１，ｊ－１）＋１　　（Ａ［ｉ］＝Ｂ［ｊ］）

那么如果Ａ［ｉ］！＝Ｂ［ｉ］的时候呢？我们想想，如果Ａ串的前ｉ－１个与Ｂ串的前ｊ个元素的最长公共子序列长度为ｘ，那么Ａ串的前ｉ个与Ｂ串的前ｊ个元素的最长公共子序列长度至少都有ｘ；如果Ａ串的前ｉ个与Ｂ串的前ｊ－１个元素的最长公共子序列长度为ｙ，那么Ａ串的前ｉ个与Ｂ串的前ｊ个元素的最长公共子序列长度至少都有ｙ

那么剩下一部的状态转移方程就出来了　　ｆ（ｉ，ｊ）＝ＭＡＸ｛　ｆ（ｉ－１，ｊ）　，　ｆ（ｉ，ｊ－１）　｝　（Ａ［ｉ］！＝Ｂ［ｊ］）

有人会问，会不会ｆ（ｉ－１，ｊ）或者ｆ（ｉ，ｊ－１）比ｆ（ｉ－１，ｊ－１）＋１还大呢，这样在Ａ［ｉ］＝Ｂ［ｊ］时选择第二种方案岂不是更好？

这样的情况是不存在的，因为ｆ（ｉ－１，ｊ）或者ｆ（ｉ，ｊ－１）只会比ｆ（ｉ－１，ｊ－１）大１个长度（想想为什么），所以ｆ（ｉ－１，ｊ）或者ｆ（ｉ，ｊ－１）不会比ｆ（ｉ－１，ｊ－１）＋１还大

 

边界　ｆ（０,０）＝０

　　　ｆ（０，ｊ）＝０

　　　ｆ（ｉ，０）＝０

最后答案：ｆ（ａ，ｂ）；（ａ表示Ａ的长度，ｂ表示Ｂ的长度）

 

程序：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

#define f(i,j) d[(i)-1][(j)-1]

using namespace std;

char A[205],B[205];
int d[205][205];

void Ready()
{
 scanf("%s",A);
 scanf("%s",B);
 memset(d,0,sizeof(d));
}

int MAX(int x,int y)
{
 return x>y?x:y;
}

void Working()
{
 
 int a,b;
 a=strlen(A);
 b=strlen(B);
 if(A[0]==B[0])f(1,1)=1;
 for(int i=2;i<=a;i++)
  {
   f(i,1)=f(i-1,1);
   if(A[i-1]==B[0])f(i,1)=1;
  }
  for(int i=2;i<=b;i++)
  {
   f(1,i)=f(1,i-1);
   if(A[0]==B[i-1])f(1,i)=1;
  }

 for(int i=2;i<=a;i++)
  for(int j=2;j<=b;j++)
   {
    f(i,j)=MAX(f(i-1,j),f(i,j-1));
    if(A[i-1]==B[j-1])
     f(i,j)=MAX(f(i,j),f(i-1,j-1)+1);
   }
   printf("%d",f(a,b));
}

int main()
{
 Ready();
 Working();
 return 0;
}