傅里叶变换DFT\FFT

傅立叶原理

任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。

因为我们的最终目的是运用计算机来处理信号的，而计算机只能处理离散的、有限长度的数值信号。所以需要使用离散傅立叶变换将连续信号转换为离散信号。

• 傅里叶级数（Fourier Series, FS）：将周期信号分解为不同频率的正弦和余弦波的和。
• 傅里叶变换（FT）：将非周期信号分解为不同频率的正弦和余弦波的积分。

信号	方法
非周期性连续信号	傅立叶变换(Fourier Transform)
周期性连续信号	傅立叶级数(Fourier Series)
非周期性离散信号	离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform)
周期性离散信号	离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

信号筛选

当未知信号与基信号频率相同时，它们乘积的积分达到了最大。 =》筛选出未知信号中各种频率成分。

傅里叶变换（FT）

任意函数（信号）可通过多个周期函数（基函数、频率分量）相加而合成。

连续傅里叶变换

从物理角度理解傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$

$f(t)$频谱未知信号，对这个信号做傅里叶变换。
$F(\omega )$为傅里叶变换后的频谱函数。其自变量为$\omega$频率。
$e^{-j\omega t}$为复信号。

根据欧拉公式 $e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)(cos(\omega t)-jsin(\omega t))dt$$

离散傅里叶变换（DFT）

在时域上对原来的信号取了N个点，构成长度为$N$的时间序列$x[n]$，其DFT定义为：
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$
其中$X[k]$是DFT的输出，$k=0,1,...,N-1$。

一个信号周期（如交流电）可以看作绕圆旋转360度（$2\pi$），角频率为转了多少个$2\pi$，即$\frac{2\pi }{N}k$。

快速傅里叶变换 (FFT)

傅里叶级数

任何周期函数可以分解成一系列不同频率和幅度的正弦和余弦函数（基函数）。

$f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }[a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)]$

其中，$\omega =\frac{2\pi }{T}$，$a_n$和$b_n$是傅里叶系数，可以通过积分得到。

傅里叶变换其实是对傅里叶级数的扩展：

1. 周期性：傅里叶级数仅适用于周期信号（假设函数在无限范围内重复），傅里叶变换用于分析非周期信号的频谱特性（可以看作是傅里叶级数在周期趋于无穷大时的形式）。
2. 频率成分：傅里叶级数的频率成分是离散的（频率的整数倍），而傅里叶变换的频率成分是连续的。
3. 应用范围：傅里叶级数在工程上常用于分析周期性信号，如电子信号；傅里叶变换则更普遍，适用于各种非周期信号的分析，如声音、图像等。

频谱、幅度谱、相位谱

频谱：以频率为自变量的函数。在每一个频率点的取值是一个复数。一个复数由模和辐角唯一地确定。
幅度谱：幅度关于频率的函数。x轴：频率；Y轴：幅度。
相位谱：相位关于频率的函数。

傅里叶变换原理 (简易)
傅里叶级数和傅里叶变换的区别和联系
傅里叶变换概念及公式推导
全面解析傅立叶变换（非常详细）

直流分量（频率为0Hz）

指信号中的直流成分，信号的直流分量就是信号的平均值，它是一个与时间无关的常数。

直流就是只有大小，没有方向。

ADC必然有偏置电压、电压值实际上不可能为负。所以就算隔离度、直流偏移什么的都搞定，FFT之后肯定也有偏置电压带来的直流分量。

对于一个信号，对它做傅里叶变换，可以得到它在各个频率处的分量，对应零频f=0处的分量（包括信号的幅度和相位）就是它的直流分量。

采样频率（奈奎斯特采样定理）

要从抽样信号中无失真地恢复原信号，抽样频率（采样频率，Fs）应大于 2 倍信号最高频率（F）。 =》Fs >= 2 * F
抽样频率小于 2 倍频谱最高频率时，信号的频谱有混叠。 抽样频率大于 2 倍频谱最高频率时，信号的频谱无混叠。

离散频率

离散频率的分辨率 = 采样频率Fs / FFT点数N
= 5120 Hz / 512 = 10 Hz
含义：每个离散频率点代表10 Hz的频率间隔。例如，第一个点（不包括直流分量）将代表10 Hz，第二个点将代表20 Hz，依此类推。

=>只要Fs和N定了，频域就定下来了。

FFT结果分析 + 归一化

N个采样点，经过DFT之后，可以得到N个点的DFT结果，这N个点是以复数形式存储的（通常N取2的整数次方）。

FFT之后得到的一系列复数，是波形对应频率下的幅度特征，注意这个是幅度特征（特征值）不是幅值。

假设有一个离散时间信号 $x[n]$，峰值是$A$，即$|x[n{]}_{max}|=A$，那么FFT的结果：

1. 第一个点是直流分量，它的模值就是原始信号的直流分量的N倍。
   -因为FFT计算的是周期信号的傅里叶级数系数，而直流分量对应于傅里叶级数的$a_0=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]$。但在FFT结果中，$\frac{1}{N}$的系数通常没有被包含，因此直流分量的模值直接是$N$倍的$a_0$。

2. 后续点为非直流分量，其模值就是A的N/2倍。
   -这是因为每个非直流分量对应于傅里叶级数中的一个正弦或余弦项，其系数的计算公式中包含了$\frac{1}{N}$的因子。在离散傅里叶变换（DFT）中，这个因子没有直接体现在结果中。
   -由于FFT结果的对称性（对于实数信号），能量分布在正负频率上，因此，非直流分量的能量需要除以2来得到与原始信号对应的幅值。

非直流分量的共轭对称

对于实数信号的快速傅里叶变换（FFT），结果具有对称性，这是由傅里叶变换的性质决定的。
对于实数输入信号$x[n]$，其FFT结果$X[k]$将具有以下对称性：

1. $X[k]$是复数序列，其中$k$是频率索引。
2. 对于实数信号，$X[k]$是共轭对称的，即$X[k]=X[N-k{]}^{\ast }$（$N$是FFT的点数，星号表示共轭）。这意味着除了直流分量$X[0]$和可能的Nyquist频率分量$X[N/2]$（N为偶数）之外，其余的FFT结果都是成对出现的共轭复数。

在频域中，信号的总能量等于时域信号能量：
$E_{time}={\sum }_{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2$
而频域信号的能量是FFT结果的每个点的模平方之和：
$E_{freq}=|X[0]{|}^2+{\sum }_{k=1}^{N/2-1}|X[k]{|}^2+|X[N/2]{|}^2$

由于FFT结果的对称性，每个非零频率成分$X[k]$（$k\ne 0$且$k\ne N/2$）的模平方都会出现两次。因此，非直流分量的能量实际上是分布在正负频率上的。FFT结果中的每个非零频率成分的模平方贡献了两次能量，一次在正频率，一次在负频率。

FFT之频率与幅值为何要除以（N/2）

共轭对称性

对于一维信号$g(t)$，其傅立叶变换$G(f)$在频率$f$和$-f$处的系数是复共轭的。

共轭 G ( − f ) =