剑指offer之数据流中的中位数

题目描述

如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

解题思路

问题本身不难，关键在于采取哪种数据结构和算法：
（1）如果用未排序的数组实现，那么插入的时间复杂度为O(1)，查找的时间复杂度为O(n)(半快速排序法）；
（2）如果是排序的数组，那么插入的时候要维护顺序，插入的时间开销要大一些，为O(n)，查找时间复杂度为O(1)；
（3）用排序的链表实现，时间复杂度和排序的数组情况完全一样；
（4）二叉搜索树可以使插入操作更快一点，时间复杂度为O(logn)，查找操作为O(logn)。但是在树极度不平衡的情况下这两种操作时间复杂度都是O(n)；
（5）还可以用AVL树实现。

作者用到的方法非常巧妙，注意到我们只需要位于中间的两个数就可以得出中位数，当元素个数为奇数个时可以看成这两个数一样。中位数在前半部分它是最大的，右半部分是最小的。我们只要始终知道前半部分数里的最大的那个数，后半部分里那个最小的数就可以了，其他的不用关心。这明显是堆的功用，前半部分用一个最大堆，后半部分建一个最小堆。中位数要保持两个堆的数目之差不超过1。为了实现平均分配，可以在数据的总数目是偶数时把新数据插入到最小堆中，否则插入最大堆中。

另一个问题是保持最大堆的所有数据都小于最小堆中的数据。如果插入一个数使得总数目和为偶数，根据之前的原则应该插入最小堆中，但是新插入的元素可能比最大堆中的元素小怎么办？这就违反了最小堆的数据一定大于最大堆得原则。实际上这里插入的元素应该是新元素和最大堆中所有元素的最大值，最大堆正好有返回一个最大值的作用，所以新插入的元素先插入最大堆，然后取出最大值再插入最小堆中。如果插入元素使得数据总数目和为奇数，处理方法类似。

优先队列

class Solution {
public:
    //用一个大顶堆和一个小顶堆，维持大顶堆的数都小于等于小顶堆的数，且两者的个数相等或差1。平均数就在两个堆顶的数之中。
    priority_queue<int, vector<int>, less<int> > p;
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;
    void Insert(int num)
    {
        if(p.empty() || num <= p.top()) p.push(num);
        else q.push(num);
        if(p.size() == q.size() + 2) q.push(p.top()), p.pop();
        if(p.size() + 1 == q.size()) p.push(q.top()), q.pop();
    }

    double GetMedian()
    {
        return p.size() == q.size() ? (p.top() + q.top()) / 2.0 : p.top();
    }

};