牛客练习赛25 因数个数和 + ⌊n/i⌋ 值相同的的连续区间

最新推荐文章于 2024-09-29 15:13:23 发布

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博客围绕计算1~n约数个数的和展开。最初采用暴力遍历会超时，后得出n / 1 + n / 2 + … + n / n的O(n)复杂度方法仍可能超时。接着想到分区间优化，回忆杭电多校相关题目，得出p/i到p/(p/i)值相等的结论，还强调做题要多总结。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/158/A 这里写图片描述

T的取值[1, 20], n的取值[1,10^9]
思路：对于小于n每个数进行遍历查找因数暴力O(n^2)肯定超时

1~n约数的个数的和实际就是看1~n在这些数中出现过多少次，例如1是1~n每个数的因数，所以对1这个因数来说，出现了n / 1次，以此类推;
发现答案n / 1 + n / 2 + n / 3 + …… + n / n复杂度为O(n)，因为分母x大等于n/2时，n/x=1恒成立

理念上时间可能卡过去，提交T了
思考怎么继续进行优化
既然（n/x）=1有一个区间，那么=2， =3，……… =n；
突然想起杭电多校的那道（分区间矩阵快速幂）链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6395当时准备写一篇博客的，又忘记了
有一个结论：p/i到后面p/(p/i)个数的值是相等的
例如：x=n/2; p/x=2, p/(p/x)=n/2;
即：x=n/2后面的n/2个数(包含x)的p/x值都等于2

思考：平时做题要多总结才能提高

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;

int main()
{
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        int n;
        LL s=0;
        scanf("%d",&n);
        s+=n+n/2;//单独处理x=1，2（可以不用单独处理）

        for(int i=3;i<=n;)
        {
            int j=min(n/(n/i), n);//防止越界
            s+=(j-i+1)*(n/i);//个数*值
            i=j+1;//跳到下一个n/x值不同的位置
        }
        printf("%lld\n",s);

    }

    return 0;
}