BZOJ-2705-Longge的游戏-SDOI2012-欧拉函数

描述

求Σgcd(i, n), 0<N≤2^32

分析

• 直接求是不行的, 可以分析满足gcd(i, n) = j 的 i 有多少个, 再用 j 乘上这个个数.
• 如果gcd(i, n) = j, 那么gcd(i/j, n/j) = 1, 又由于i≤n, 所以gcd(i/j, n/j) = 1的个数就是不超过n/j并与n/j互质的数的个数, 即φ(n/j).
• 所以Σgcd(i, n) = j * φ(n/j),  j | n.
• 枚举n的因子j, 统计 j*φ(n/j) + n/j * φ(j).  O(sqrt(n) * sqrt(sqrt(n)))
• 还有种更简单的方法, 但是没看懂

代码

#include 
    
    
     
     
#include 
     
     
      
      
using namespace std;
typedef long long int lli;

int phi(int n) {
	int ret = n;
	int m = (int)(sqrt(n) + 0.5);
	for(int i = 2; i <= m; i++) if(n % i == 0) {
		ret = ret / i * (i-1);
		while(n % i == 0) n /= i;
	}
	if(n > 1) ret = ret / n * (n-1);
	return ret;
}

int main()
{
	lli n;
	scanf("%lld", &n);
	lli m = (lli)(sqrt(n) + 0.5);
	lli ans = 0;
	for(lli i = 1; i <= m; i++) if(n%i == 0) {
		ans += i * phi(n/i);
		if(i*i < n) ans += n/i * phi(i);
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}