最小生成树Kruskal算法+并查集检查连通

本文介绍使用Cruscal算法结合并查集解决最小生成树问题的方法。通过C语言实现,对输入的边按权重排序,并利用并查集避免形成环路,最终输出最小生成树的总权重。
/*
10 6
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6
*/

// 本例解决最小生成树问题
// 并查集来加快效率
// cruscal算法针对稀疏矩阵

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int pre[100];
int score[100] ;//记录各边的名次,w[score[0]] 是最长的边
int v[100],u[100],w[100];//分别存储边的两个顶点,和权值
int cmp(const int i,const int j){ return w[i]<w[j];}
int findr(int x){
   int rx = pre[x];
   //找到根节点
   while (rx != pre[rx])
     rx = pre[rx];
    int tempx = x;
    while (pre[x]!=rx){
        tempx = x;
        x = pre[x];
        pre[tempx] = rx;
    }

    return rx;
   //优化

}

int mix (int a, int b){

   int ra = pre[a];
   int rb = pre [b];
   if (ra==rb)
    return 0 ;
   pre[rb] = ra ;
   return 1;
}
int main(){
   int m,n;

   while (scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF && m){
    for (int i = 0 ; i < m ; i++){
        scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
    }
    //初始化pre
     for (int i = 0 ; i < n ;i ++)
        pre[i] = i ;
     for(int i = 0 ; i < m ; i ++)
        score[i] = i ;
     //对各边进行排序,将排序名次保存在score中
     sort(score,score+m,cmp);
     //选择n-1条边
     int sum = 0;
     int side_num = 0;
     for (int i = 0 ; i < m ; i ++){
        int adj = score[i];
       // printf("adj = %d\n",adj);
        if (findr(u[adj]!=findr(v[adj]))){//如果该边的两个顶点的父节点不相同,即加入该边后不会造成回路
                mix(u[adj],v[adj]);//将该边加入最小生成树
                sum+=w[adj];
                side_num++;
             //   printf("w = %d\n",w[adj]);
        }
        if (side_num>=n-1)//如果加入生成树的边大于等于n-1条
            break;
     }
     if (side_num<n-1)
        printf("?\n");
     else
     printf("%d\n",sum);
   }
  return 0;
}
输出结果是最小生成树的权值
### Kruskal算法最小生成树问题中的实现详解 Kruskal算法是一种用于求解连通无向图中最小生成树的经典算法。它基于贪心算法的思想,通过将图中的边按照权值从小到大排序,并使用并查集来避免生成环路,从而逐步构建出最小生成树。 #### 贪心算法的核心思想 贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优策略的算法设计方法。在Kruskal算法中,贪心策略体现在每次选取权值最小的边加入生成树时,确保该边不会导致环路的形成。这种局部最优的选择最终能够保证全局最优解的实现[^1]。 #### 并查集的作用 并查集(Union-Find Set)是一种用于处理动态连通性问题的数据结构。在Kruskal算法中,它被用来判断添加某条边是否会形成环路。具体来说,通过查找两个顶点是否属于同一个集合,可以快速判断它们之间是否存在路径。如果两个顶点已经连通,则说明加入这条边会导致环路;否则,可以安全地将这条边加入生成树,并将两个顶点所在的集合合并[^4]。 #### Kruskal算法的实现步骤 以下是Kruskal算法的具体实现步骤: 1. **初始化**:将图中的所有顶点视为独立的集合,即每个顶点单独构成一棵树。 2. **排序**:将图中的所有边按照权值从小到大进行排序。 3. **遍历边**:依次检查每条边,判断其连接的两个顶点是否属于不同的集合: - 如果属于不同集合,则将这条边加入最小生成树,并合并这两个集合。 - 如果属于同一集合,则跳过这条边以避免形成环路。 4. **终止条件**:当最小生成树中包含 `n-1` 条边(`n` 为顶点数)时,算法结束。 #### 代码实现 以下是一个基于C语言的Kruskal算法实现示例: ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> typedef struct { int u, v, weight; } Edge; int findSet(int parent[], int x) { if (parent[x] != x) parent[x] = findSet(parent, parent[x]); return parent[x]; } void unionSet(int parent[], int rank[], int x, int y) { int xRoot = findSet(parent, x); int yRoot = findSet(parent, y); if (rank[xRoot] < rank[yRoot]) parent[xRoot] = yRoot; else if (rank[xRoot] > rank[yRoot]) parent[yRoot] = xRoot; else { parent[yRoot] = xRoot; rank[xRoot]++; } } int compare(const void* a, const void* b) { return ((Edge*)a)->weight - ((Edge*)b)->weight; } void kruskalMST(Edge edges[], int numEdges, int numVertices) { Edge result[numVertices - 1]; int e = 0, i = 0; qsort(edges, numEdges, sizeof(Edge), compare); int parent[numVertices], rank[numVertices]; for (int node = 0; node < numVertices; node++) { parent[node] = node; rank[node] = 0; } while (e < numVertices - 1 && i < numEdges) { Edge next_edge = edges[i++]; int x = findSet(parent, next_edge.u); int y = findSet(parent, next_edge.v); if (x != y) { result[e++] = next_edge; unionSet(parent, rank, x, y); } } printf("Minimum Spanning Tree Edges:\n"); for (int j = 0; j < e; j++) printf("%d - %d : %d\n", result[j].u, result[j].v, result[j].weight); } ``` #### 算法复杂度分析 - **时间复杂度**:Kruskal算法的主要开销在于对边的排序和并查集操作。假设图中有 `m` 条边和 `n` 个顶点,则排序的时间复杂度为 `O(m log m)`,而并查集的操作平均复杂度接近于常数 `O(α(n))`,其中 `α` 是阿克曼函数的反函数。因此,总体时间复杂度为 `O(m log m)`[^3]。 - **空间复杂度**:需要存储边的列表和并查集数据结构,空间复杂度为 `O(m + n)`。 ### 总结 Kruskal算法通过结合贪心策略和并查集数据结构,能够在连通无向图中高效地求解最小生成树问题。其核心在于通过排序选择权值最小的边,并利用并查集确保生成树的无环性[^2]。
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