爬楼梯问题(动态规划)

博客介绍了使用动态规划解决一个人每次走一层或两层楼梯到达第80层的方案数量。通过设立递推公式dp[i+1]=dp[i-1]+dp[i],并给出源代码实现,讨论了如何扩展到可以走1, 2, 3层楼梯的情况,依然使用动态规划求解。" 90708155,8438093,LeetCode 261:如何判断给定边是否构成有效树,"['算法', '数据结构', '图论', 'LeetCode挑战', '并查集']

题目:一个人每次只能走一层楼梯或者两层楼梯,问走到第80层楼梯一共有多少种方法。


解题思想:设走第i层楼梯需要dp[i]中方法,走第i-1层楼梯需要dp[i-1]中方法。则走第

i+1层楼梯的方法种数为dp[i-1]+dp[i]种。


实动态规划解题的主要思想就是找出递推式,然后利用子问题的解来求最后的最优解。


下面是走楼梯题目的源代码:


#include <iostream>
using namespace std;
int dp[10001] = {0};
int main(){
	int num;
	cin>>num;
	dp[1] = 1;
	dp[2] = 2;
	for(int i = 3; i <= num; i++){
		dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
	}
	cout<<dp[num]<<endl;
	return 0;
}

上面的题目,如

### 动态规划解决爬楼梯问题 动态规划是一种通过分解复杂问题并保存中间结果来优化整体解决方案的技术[^1]。对于爬楼梯问题,假设每次可以选择爬 1 2 阶梯,则可以通过定义状态转移方程 `dp[i]` 表示到达第 i 楼梯的不同方法数量。 #### 状态转移方程 如果要达到第 i 楼梯,可以从第 `(i-1)` 再走一步者从第 `(i-2)` 再走两步得到。因此,状态转移方程为: ```plaintext dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] ``` 其中: - `dp[i-1]` 是从前一跳过来的情况; - `dp[i-2]` 是从前两跳过来的情况。 初始条件设置如下: - 当楼梯数为 0 (`n=0`) 时,没有台阶可爬,返回值设为 0。 - 当楼梯数为 1 (`n=1`) 时,只有一种方式爬上该楼。 - 当楼梯数为 2 (`n=2`) 时,有两种方式:一次爬两个阶梯两次各爬一个阶梯。 以下是基于上述逻辑的 Python 实现代码: ```python def climbStairs(n: int) -> int: if n == 0 or n == 1: return 1 dp = [0] * (n + 1) dp[0], dp[1] = 1, 1 for i in range(2, n + 1): dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] return dp[n] # 测试函数 print(climbStairs(3)) # 输出应为 3 ``` 此代码实现了动态规划的核心思想,并利用了一维数组存储每一步的结果以减少重复计算的时间开销[^2]。 #### 进一步优化空间复杂度 由于当前状态仅依赖前两个状态,可以进一步简化空间复杂度至 O(1),即只需要保留最近的两个状态即可完成迭代过程。 下面是改进后的版本: ```python def climbStairsOptimized(n: int) -> int: if n == 0 or n == 1: return 1 prev1, prev2 = 1, 1 for _ in range(2, n + 1): current = prev1 + prev2 prev2 = prev1 prev1 = current return prev1 # 测试优化版函数 print(climbStairsOptimized(3)) # 输出同样为 3 ``` 这种优化不仅保持了时间效率还极大地减少了内存占用量[^4]。
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