hdu4920——Matrix multiplication(矩阵快速幂or循环外提)

最新推荐文章于 2024-08-26 15:30:00 发布

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分类专栏：数学优化快速幂

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本文介绍了一种解决大规模矩阵乘法问题的方法，利用矩阵快速幂技巧减少计算复杂度，避免了传统方法中的超时问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Matrix multiplication

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)

Problem Description

Given two matrices A and B of size n×n, find the product of them.
bobo hates big integers. So you are only asked to find the result modulo 3.

Input

The input consists of several tests. For each tests:
The first line contains n (1≤n≤800). Each of the following n lines contain n integers -- the description of the matrix A. The j-th integer in the i-th line equals A_ij. The next n lines describe the matrix B in similar format (0≤A_ij,B_ij≤10⁹).

Output

For each tests:
Print n lines. Each of them contain n integers -- the matrix A×B in similar format.

Sample Input

Sample Output

0
0 1
2 1

题意：给出两个n*n的矩阵，求这两个矩阵的乘积，结果对3取余。

奇妙的题，循环外提巧妙AC

相关博客：http://blog.youkuaiyun.com/gogdizzy/article/details/9003369

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 805;
int a[N][N], b[N][N], ans[N][N];
int main()
{
int n, i, j, k;
while(~scanf("%d",&n))
{
for(i = 1; i <= n; i++)
for(j = 1; j <= n; j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
a[i][j] %= 3;
}
for(i = 1; i <= n; i++)
for(j = 1; j <= n; j++)
{
scanf("%d",&b[i][j]);
b[i][j] %= 3;
}
memset(ans, 0, sizeof(ans));
for(k = 1; k <= n; k++) //经典算法中这层循环在最内层，放最内层会超时，但是放在最外层或者中间都不会超时，不知道为什么
for(i = 1; i <= n; i++)
for(j = 1; j <= n; j++)
{
ans[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
//ans[i][j] %= 3; //如果在这里对3取余，就超时了
}
for(i = 1; i <= n; i++)
{
for(j = 1; j < n; j++)
printf("%d ", ans[i][j] % 3);
printf("%d\n", ans[i][n] % 3);
}
}
return 0;
}

另外：

解题思路：如果按照先求矩阵C 再求C的（N*N）肯定会超时，因为C有N行N列，最多为1000*1000*1000*log2(1000000)。但是我们可以用到一个矩阵的性质。矩阵虽然不满足交换律但是他满足结合律。这边C是A和B的矩阵乘积。C的N*N次方相当于(A*B)^(N*N) = A*B*A*B...*A*B 总共N*N个。即原式 = A * (B*A)*(B*A)...(B*A)*B 总共有N*N-1个的B*A。然后我们就可以根据B*A来算了。这边K最多是6 所以算中间这一部分的值为6*6*6*log2(1000000-1).这样，我们使用矩阵快速幂，就不会超时了。

由于结构体里开不了1000*1000的大小，所以只开了6*6的矩阵。剩下的用普通的矩阵乘法计算。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
struct matrix
{
int ma[15][15];
int row,col;
};

matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
matrix w;
memset(w.ma,0,sizeof(w.ma));
for (int i=0; i<a.row; i++)
for (int j=0; j<b.col; j++)
for (int h=0; h<a.col; h++)
w.ma[i][j]=(w.ma[i][j]+a.ma[i][h]*b.ma[h][j])%6;
w.row=a.row;
w.col=b.col;
return w;
}
matrix operator ^(matrix a,__int64 b)
{
matrix w;
for (int i=0; i<6; i++) for (int j=0; j<6; j++) w.ma[i][j]=(i==j);
w.row=6;
w.col=6;
while (b)
{
if (b&1) w=w*a;
a=a*a;
b>>=1;
}
return w;
}
int ans1[1111][1111];
int ans[1111][15];
int a[1111][15],b[15][1111];
matrix va;
int main()
{
__int64 n,k,i,j;

while (~scanf(" %I64d %I64d",&n,&k),(n|k))
{
for (i=0; i<n; i++)
for (j=0; j<k; j++) scanf(" %d",&a[i][j]);
for (i=0; i<k; i++)
for (j=0; j<n; j++) scanf(" %d",&b[i][j]);

for (int i=0; i<k; i++)
for (int j=0; j<k; j++)
{
va.ma[i][j]=0;
for (int h=0; h<n; h++)
va.ma[i][j]=(va.ma[i][j]+b[i][h]*a[h][j])%6;
}

va.row=k;
va.col=k;
__int64 m=n*n;
va=va^(m-1);

for (int i=0; i<n; i++)
for (int j=0; j<k; j++)
{
ans[i][j]=0;
for (int h=0; h<k; h++)
ans[i][j]=(ans[i][j]+a[i][h]*va.ma[h][j])%6;
}

for (int i=0; i<n; i++)
for (int j=0; j<n; j++)
{
ans1[i][j]=0;
for (int h=0; h<k; h++)
ans1[i][j]=(ans1[i][j]+ans[i][h]*b[h][j])%6;
}
__int64 sum=0;
for(int i=0; i<n; i++)
{
for(int j=0; j<n; j++)
{
sum+=(ans1[i][j]%6);
}
}
printf("%I64d\n",sum);
}
return 0;
}