logistic 回归

logistic 回归

如何用线性模型做分类任务？

只需要在广义线性模型 (1) 中找一个单调可微函数将线性回归的值与分类任务的真实标签 $y$ 联系起来。

$$y=g(w^Tx+b) \tag{1}$$
其中，$g(\cdot)$ 称为 link function

考虑二分类任务，其输出标签 $y\in\{0,1\}$，而线性回归模型产生的预测值 $z=w^Tx+b$ 是实值，于是，需要将实值 $z$ 转换为 $0/1$ 值。最理想的单位阶跃函数 (unit-step function, Heaviside function)。

$$y=\begin{cases} 0& z\lt0\\ 0.5& z=0 \\ 1 & z\gt 0 \end{cases}$$
即若预测值 $z$ 大于零就判为正例，小于零则判为负例，预测值为临界值零则可以任意判断。

但单位阶跃函数不连续，因此不能直接用作 $g(\cdot)$，于是希望找到能在一定程度上近似单位阶跃函数的替代函数 ，并希望它单调可微。对数几率函数 (logistic function)正是这样一个常用的替代函数：

$$y=\frac{1}{1+e^{-z}} \tag{2}$$
对数几率函数是一种Sigmoid function ，它将 $z$ 值转化为一个接近0或1的 $y$ 值，并且其输出值在 $z=0$ 附近变化很陡。将对数几率函数 (2) 带入 (1) 得到：
$$y=\frac{1}{1+e^{-(w^Tx+b)}} \tag{3}$$
通过化简可得：
$$\log \frac{y}{1-y}=w^Tx+b \tag{4}$$
若将 $y$ 视为样本 $x$ 作为正例的可能性，则 $1-y$ 是其反例的可能性，两者的比值 $\frac{y}{1-y}$ 称为 几率 (odds)，反应了 $x$ 作为正例的相对可能性，对几率取对数则得到 对数几率 (log odds，亦称logit)：
$$\log\frac{y}{1-y} \tag{5}$$
由此可以看出，(5) 实际上是在用线性回归模型的预测结果去逼近真实标签的对数几率，因此，其对应的模型称为 对数几率回归 (logistic regression)。特别需要注意到，虽然它的名字是”回归”，但实际确实一种分类学习方法。

这种方法有很多优点，例如：

• 它是直接对分类可能性进行建模，无需事先假设数据分布，这样就避免了假设分布不准确所带来的问题。
• 它不是仅预测出”类别”，而是可以得到近似概率的预测，这对许多需利用概率辅助决策的任务很有用。
• 对数几率函数是任意阶可导的凸函数，有很好的数学性质，现有的很多数值优化算法都可以直接用于求解最优解。

若将 (4) 中的 $y$ 视为类的后验概率估计 $p(y=1|x)$，因此有：

$$\log\frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}=w^Tx+b$$
注意到 $p(y=0|x)+p(y=1|x)=1$，可以得到：
$$p(y=1|x)=\frac{e^{w^Tx+b}}{1+e^{w^Tx+b}} \\ p(y=0|x)=\frac{1}{1+e^{w^Tx+b}}$$
因此，$y$ 概率密度函数为：
$$p(y|x,w,b)=p(y=1|x)^yp(y=0|x)^{1-y}$$
于是，可以通过 极大似然估计 (MLP) 来估计 $w,b$ 。

似然函数为：

$$L(w,b)=\prod_{i=1}^np(y_i=1|x_i)^{y_i}p(y_i=0|x)^{1-y_i}$$
对数似然函数为：
$$\begin{eqnarray*} &&l(w,b)=\log L(w,b) \\ &=&\sum_{i=1}^n y_i\log p(y_i=1|x_i)+(1-y_i)\log p(y_i=0|x) \\ &=& \sum_{i=1}^n \bigg(y_i(w^Tx_i+b)-\log(1+e^{w^Tx_i+b}) \bigg) \end{eqnarray*}$$
于是对应的优化问题是为：
$$\min_{w,b} \sum_{i=1}^n \bigg(-y_i(w^Tx_i+b)+\log(1+e^{w^Tx_i+b}) \bigg) \tag{6}$$
优化问题 (6) 是关于 $w,b$ 的高阶可导的凸优化问题，根据凸优化理论，经典的数值优化算法如梯度下降，牛顿法等都可以求得其最优解。