【洛谷】 P1063 能量项链 NOIP2006 区间dp

题目描述

在MarsMarsMars星球上，每个MarsMarsMars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NNN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是MarsMarsMars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mmm，尾标记为rrr，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为nnn，则聚合后释放的能量为m×r×nm \times r \times nm×r×n（MarsMarsMars单位），新产生的珠子的头标记为mmm，尾标记为nnn。

需要时，MarsMarsMars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4N=4N=4，444颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(jjj⊕kkk)表示第j,kj,kj,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第444、111两颗珠子聚合后释放的能量为：

(444⊕111)=10×2×3=60=10 \times 2 \times 3=60=10×2×3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

((444⊕111)⊕222)⊕333）=10×2×3+10×3×5+10×5×10=71010 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行是一个正整数N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)，表示项链上珠子的个数。第二行是NNN个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过100010001000。第iii个数为第iii颗珠子的头标记(1≤i≤N)(1≤i≤N)(1≤i≤N)，当i<Ni<Ni<N时，第iii颗珠子的尾标记应该等于第i+1i+1i+1颗珠子的头标记。第NNN颗珠子的尾标记应该等于第111颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

 

输出格式：

 

一个正整数E(E≤2.1×(10)9)E(E≤2.1 \times (10)^9)E(E≤2.1×(10)9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4
2 3 5 10

输出样例#1：

710

 

题目链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1063 

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看到好像没什么人跟我的转移方程一样就提交一个博客水一发，毕竟dp这种东西讲究的就是一个思路，具体的区间dp请看其他人的博客，这里只讲本题的思路，具体看代码注释

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long a[205];//使用我这种写法得看longlong，一开始没注意最后一组WA了 
long long dp[205][205]={0};//dp[i][j]代表第i个到第j个中最大的能量是多少 
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i+n]=a[i];/*把环展开成廉，
		例如题目的2 3 5 10存作 2 3 5 10 2 3 5 10，
		这样子非常方便我们模拟环式计算 
		*/ 
	}
	for(int len=3;len<=2*n;len++)//枚举长度 
	{
		for(int l=0;l+len<=2*n;l++)//枚举最左边起点 
		{
			int r=l+len-1;//得到最右边起点 
			for(int k=l+1;k<r;k++)
			{
				/*枚举k的值，根据题目意思来说，如果合并了之后， 
				中间是要被“吞”掉的，所以就看是原本自己的值最大，
				还是 头*尾*中间枚举点+头到中间点吞掉的值+中间点到尾吞掉的值大 
				*/ 
				dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+a[l]*a[r]*a[k]);
				
			}
		}
	}
	printf("%lld",dp[0][2*n-1]/2);/*根据我dp方程的意思，从0到2*n-1肯定是最大的，
	但是因为我们为了方便模拟环式计算展开了一次，所以答案要/2，
	因为原答案不会超过int范围，所以*2后也肯定不会超过longlong范围 
	*/ 
	return 0;
}