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求解递推方程的方法有很多。最简单的办法是猜测一个方案，再用归纳证明法验证这个猜测是否正确。例如，对于汉诺塔母函数的推导，观察前几个Tn值:1,3,7,15,31,63，一个很自然的猜测是Tn2n一1。然后我们可以采用归纳法去证明我们的猜测。由于递推公式和归纳证明法有着类似的结构，这样的验证证明过程特别简捷。具体来说,归纳证明的基础情形利用递推公式的第一行，即T;而归纳证明的归纳步骤利用递推公式的第二行，即前序项的函数Tn。

随机游走的建模场景是某个对象按照随机选择的方向行走一个步数序列。

一般来说，马尔可夫定理能够粗略估计一个随机变量的值等于一个比它的平均值大得多的值的概率。例子：IQ的平均值是100。我们可以得到：最多1/3的人IQ可以达到300及以上，因为如果IQ>=300的人超过1/3，则平均值必然大于(1/3)·300= 100。定理20.1.1(马尔可夫定理）如果R是一个非负随机变量，那么对任意x >0证明.设y为R值域上的变量,那么对任意x > 0我们关注的是偏离平均，所以马尔可夫定理可以改写成如下形式。推论20.1.2。

还有另一种定义期望的标准方法。定理19.4.3对任意的随机变量R,证明．设R定义在样本空间S中，那么。

表达式Pr[X|Y]表示，在事件Y发生的条件下，事件X发生的概率。定义18.2.1：设X和Y是事件，且Y具有非零概率，那么，

我们感兴趣的事件是骰子A的数字大于骰子B的数字。

母函数是离散数学领域最意外、最有用的发明之一。粗略来讲，母函数将序列问题转化为代数问题。组合数学中常常出现普通型母函数、指数型母函数、狄利克雷型母函数。

如何计算拥挤的房间里有多少人?你可以数人头，因为一个人就只有一个头。或者，也可以数耳朵，然后除以2。我们往往可以通过对其他事物计数进而计算当前计数。最直截了当的通过查找一种事物来确定另一种事物的方式，是发现它们之间的双射。因为如果它们之间有双射的关系，那么数目肯定是一样的。这个重要的现象叫作双射规则/双射法则。双射规则就像是计算能力的放大器，如果你弄明白了一个集合的数目，那么就能通过双射的方式立刻测定出其他集合的大小。例：A=当5种类型的甜甜圈都能挑的情况下，挑出12个甜甜圈的所有方式。B=所有正好有4个

定义13.2.1：在平面上绘制一幅图，就是将每个节点指定为一个独特的点，将每条边指定为一条平滑的曲线。其端点对应于与这条边相连的节点。如果没有曲线与自己或其他曲线交叉，则图形是平面的。换句话说，在任何曲线上出现不止一次的点，必须是节点。当图有平面图形时，它就是平面的。定义13.2.1中使用了平面图形来定义平面图，为了证明平面图的一些性质，我们不得不用整章的数学语言，从平面几何和点集拓扑中，发展出所需要的概念。好消息是，有另一种只使用离散数学的方式来定义平面图。

在计算机科学中，通信网络建模是有向图的一项重要应用。在此类模型中，顶点代表计算机、处理器和交换机;边表示电缆、光纤或其他用于数据传输的线缆。在本章中,我们将介绍一些最好和最常用的结构化网络。

【代码】剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组（Java）

关系R:A →A与A为顶点的有向图相同。自反性R是自反的，当R中的每个顶点都有一个自循环。非自反性R是非自反的，当R中没有自循环。对称性R是对称的，当如果在R中存在由x到y的边,那么同样也存在从y回到x的边。非对称性R是非对称的，当在R中的两个顶点之间最多存在一条有向边，且不存在自循环。反对称性R是反对称的，当等价的，两个不同的顶点之间至多有一条有向边，但可以存在自循环。传递性R是传递的，当如果由u到v存在一条正长度通路，那么从u到v就存在一条边。线性。

数论是对整数的研究。数论还提供了一个优秀的环境，使我们可以演练和应用在前面的章节中研究出来的理论证明技巧。

计算机中数据的大小受内存的限制，为什么还要引入无限集呢？因为忽略掉那些很大且未知的上界并接受那些基于实数的理论是很有现实意义的。其次，在计算机设计编译器时，计算位数尽可能多的非负整数之和与计算位数不确定的两个整数之和是相同的。在使用无限集去证明时，我们一般不会被直觉所误导，所以它为我们提供了一种很实用的证明方法。掌握无限集还有一个很大的好处——可以帮助我们了解从理论上来说计算机到底可以做什么不能做什么。

基本情形指明属于该数据类型的某个已知数学元素。构造情形指明如何从已知基本元素或已构建的元素，构造新的元素。给定字符集合A，字符串的定义如下。**定义 7.1.1：**令非空集合A为字母表，其元素为字符（或字母、符号、数字等,character, letter, symbol, digit )。基于字母表A的递归数据类型A∗A^{*}A∗定义如下。**基本情形：**空字符串λ属于A∗A^{*}A∗**构造情形：**如果a∈ A且s ∈A∗A^{*}A∗，那么 ∈。

状态机的执行描述状态机可能采取的步骤构成的序列。**定义6.2.4：**状态机的执行是指状态机可能具有的状态序列(可能是无限的),满足以下性质1.从初始状态开始，并且2.若q, r表示序列中两个连续的状态，那么q →r。执行中出现的状态是可达的( reachable )。状态机的保持不变性是指关于状态的谓词P满足:对任意状态q，如果P(q)为真，且存在状态r，其中q →r，那么P®也为真。如果状态机的保持不变性在初始状态为真，则所有可达状态皆为真。

归纳法：归纳法是证明某一特性对全体非负整数都为真的有力手段。归纳法的使用可以区分离散和连续这两种数学特征只可以在非负整数上使用吗？理论上，数学归纳法可以在任何良序集合上应用，但实数，复数没有自然的良序结构，需要先良序化再应用。为什么区分离散和连续？（个人想法，不知道对不对）具有连续数学特征的一组数据无法使用归纳法，因为无法通过P(n)去证明其下一项成立，因为在连续性随机变量中你根本不知道n的下一项是谁。其下一项是n+k，k是大于0，但无限接近于0的数。

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最小化门的数量可带来巨大的好处:门越少，芯片越小，消耗的电量越少，缺陷率越低，而且制造成本也越低。**永真式：**是指无论变量如何取值，总是为真的公式。永真式描述的是基本的逻辑真相。**析取式：**析取式就是对AND项取OR，其中每个AND项是变量或变量的非构成的AND操作。**定理：**两个命题公式是等价的，当且仅当可以通过上述等价公理证明它们是等价的。**合取式：**合取式就是对OR项取AND,其中 OR项是变量或者变量的“非”。**命题变量：**命题变量的值只有T和F，命题变量又称布尔变量。

命题：命题是一个或真或假的语句（表述)。谓词：谓词( predicate)相当于真假性取决于一个或多个变量值的命题。