数据结构_01_树状数组

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树状数组简介

树状数组(Binary Index Tree, BIT)可以以$O(logn)$的时间复杂度实现单点修改、区间查询等功能。

相关LeetCode问题

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一、关键要点

1. lowbit操作

用于获取某数的最低位的1，计算公式为：
$x\&(x+1)$ 或 $x\&(-x)$

• 设$x$为20，则其二进制表示为10100
• 则$x+1$为01011+1 --> 01100
• 可见，$x$和$x+1$最低位的1左边每一位都不同(包括符号位)，而最低位的1以及其右边每一位都相同。
• 两者相与，则只有$x$最低位的1会保留下来

lowbit 操作在树状数组中及其重要

2. 数组中元素的实质

设原数组为$nums$，树状数组为$tree$，为了方便取值，使两个数组的下标均从1开始。则：

• 若$i$的二进制表示为$\ast \ast \ast 100$
• 则$tree[i]$是nums中第$\ast \ast \ast 100$, $\ast \ast \ast 001$, $\ast \ast \ast 010$, $\ast \ast \ast 011$ 个元素的和

换一种方式描述

• 若取出$i$的最低位1的结果为$a$
• 则$tree[i]$=$nums[i]+nums[i-1]+nums[i-2]+...+nums[i-a+1]$

3. 树状数组的结构

二、Java实现

public class BinaryIndexTree {

    private int[] tree;
    private int[] nums;
    public BinaryIndexTree(int[] nums) {
        this.nums = nums;
        // 数组长度+1，避免采用0下标
        this.tree = new int[nums.length+1];
        for(int i = 0; i<nums.length; i++){
            this.insert(i,nums[i]);
        }
    }

    /**
     * @param index:
     * @param val:
     * @return: void
     * @author: lihen
     * @date: 2022/5/18 15:55
     * @description: 向空数组中加入数据，生成树状数组
     */
    private void insert(int index, int val){
        // nums索引转为tree索引
        index++;
        for(int i = index; i<tree.length; i+=lowBit(i)){
            this.tree[i]+=val;
        }
    }

    /**
     * @param index:
     * @param val:
     * @return: void
     * @author: lihen
     * @date: 2022/5/18 15:55
     * @description: 更新数组中某位置的数
     */
    public void update(int index, int val) {
        try {
            checkIndex(index);
            // nums索引转为tree索引
            index++;
            // 更新树状数组和原数组
            for(int i = index; i<tree.length; i+=lowBit(i)){
                this.tree[i] = this.tree[i] + val - nums[index-1];
            }
            nums[index-1] = val;
        } catch (Exception e) {
            System.out.println("下标越界，修改失败");
        }

    }

    /**
     * @param left:
     * @param right:
     * @return: int
     * @author: lihen
     * @date: 2022/5/18 15:56
     * @description: 获取某个索引位置到另一位置的数之和
     */
    public int sumRange(int left, int right) {
        try {
            checkIndex(left,right);
            if(right<left)return -1;
            // 分别查询0到left-1和0到right的元素和，再进行相减
            return query(right)-query(left-1);
        } catch (Exception e) {
            e.printStackTrace();
        }
        return -1;
    }

    /**
     * @param index:
     * @return: int
     * @author: lihen
     * @date: 2022/5/18 15:59
     * @description: 统计原数组中0到index的元素的和
     */
    public int query(int index){
        // nums索引转为tree索引
        index++;
        int res = 0;
        for(int i = index; i>0; i-=lowBit(i)){
            res+=this.tree[i];
        }
        return res;
    }

    /**
     * @param indexes:
     * @return: void
     * @author: lihen
     * @date: 2022/5/18 16:06
     * @description: 检查是否出现越界错误
     */
    private void checkIndex(int ... indexes) throws Exception {
        for (int index : indexes) {
            if(index<0||index>=nums.length)throw new Exception();
        }
    }

    /**
     * @param x:
     * @return: int
     * @author: lihen
     * @date: 2022/5/18 15:07
     * @description: 取最低位的1
     */
    int lowBit(int x){
        return x&(-x);
    }
    
}

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总结

树状数组是一种十分优雅的数据结构，自己现在对它的了解还不够深，之后还要多接触相关题目，把树状数组练会练精。

参考

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/93795692
• https://leetcode.cn/problems/range-sum-query-mutable/solution/-by-hu-ge-8-t4rn/