摆动序列问题解析与解法-优快云博客

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摆动序列问题解析与解法

题目背景

给定一个整数数组 nums，要求返回 nums 中作为摆动序列的最长子序列的长度。

摆动序列定义

如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为摆动序列。例如：

[1, 7, 4, 9, 2, 5] 是摆动序列，因为其差值为 (6, -3, 5, -7, 3)，这是一组正负交替出现的数列。

输入输出示例

示例 1：

输入: nums = [1,7,4,9,2,5]
输出: 6

解释：整个序列都是摆动序列，差值为 (6, -3, 5, -7, 3)，符合摆动序列的条件。

示例 2：

输入: nums = [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8]
输出: 7

解释：这个序列包含多个长度为7的摆动子序列，其中一个为 [1, 17, 10, 13, 10, 16, 8]。

示例 3：

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
输出: 2

解释：在这个序列中，摆动序列的最长子序列只能包含前两个不同的元素。

解题思路

1. 摆动序列的定义

摆动序列的差值是交替出现的：

先是一个正差（上升），然后是负差（下降），再然后是正差（上升），以此类推。
如果两个相邻元素相等，则无法定义为上升或下降。

2. 动态规划思路

我们可以使用动态规划来求解这个问题。为了简化，我们采用两个变量 a 和 b：

a：表示以当前位置结尾的“上升”摆动序列的长度。
b：表示以当前位置结尾的“下降”摆动序列的长度。

3. 更新规则

如果当前元素比前一个元素大，那么可以将当前元素加入到下降序列后，更新上升序列的长度：a = b + 1。
如果当前元素比前一个元素小，那么可以将当前元素加入到上升序列后，更新下降序列的长度：b = a + 1。
如果两个元素相等，当前序列无法继续更新，直接跳过。

4. 边界情况

如果数组长度小于2，直接返回数组的长度，因为长度为1或0的数组本身就是一个摆动序列。

5. 时间复杂度

由于我们只需要遍历数组一次，因此时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

代码实现

class Solution:
    def wiggleMaxLength(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n < 2:  # 如果数组长度小于2，直接返回数组长度
            return n
        
        # 初始化：a为上升的最大序列长度，b为下降的最大序列长度
        a, b = 1, 1  # 初始时，单个元素本身就是一个摆动序列

        for i in range(1, n):
            if nums[i] > nums[i - 1]:  # 当前元素比前一个元素大，属于上升状态
                a = b + 1  # 更新上升序列的长度
            elif nums[i] < nums[i - 1]:  # 当前元素比前一个元素小，属于下降状态
                b = a + 1  # 更新下降序列的长度
            # 如果 nums[i] == nums[i - 1]，则不做任何更新
        
        return max(a, b)  # 返回上升和下降序列的最大值

代码解析

初始化：变量 a 和 b 都初始化为 1，表示第一个元素本身就是一个长度为1的摆动序列。
遍历数组：从数组的第二个元素开始遍历：
- 如果当前元素大于前一个元素，表示我们有一个上升的序列，更新 a。
- 如果当前元素小于前一个元素，表示我们有一个下降的序列，更新 b。
- 如果两个元素相等，不做任何更新。
返回结果：最终结果是上升和下降序列长度中的最大值。

测试用例

# 测试用例 1
nums = [1, 7, 4, 9, 2, 5]
print(Solution().wiggleMaxLength(nums))  # 输出: 6

# 测试用例 2
nums = [1, 17, 5, 10, 13, 15, 10, 5, 16, 8]
print(Solution().wiggleMaxLength(nums))  # 输出: 7

# 测试用例 3
nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
print(Solution().wiggleMaxLength(nums))  # 输出: 2

# 测试用例 4
nums = [1, 2]
print(Solution().wiggleMaxLength(nums))  # 输出: 2

# 测试用例 5
nums = [1]
print(Solution().wiggleMaxLength(nums))  # 输出: 1